บทที่ 3.ระบบเลขฐาน

ตารางแสดงการเปรียบเทียบเลขฐานสิบ ฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบหก

เลขฐานสิบ	เลขฐานสอง	เลขฐานแปด	เลขฐานสิบหก
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	6	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
. . .	. . .	. . .	. . .
30	11110	36	1E
31	11111	37	1F

ข้อสังเกต  1. เลขฐานใด ๆ จะมีตัวเลขน้อยกว่าฐานนั้น ๆ อยู่ 1 เสมอการแทนลักษณะข้อมูลในคอมพิวเตอร์

การแปลงเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์

    

     ตัวเลขที่เราใช้อยู่ในปัจจุบัน มีส่วนสำคัญ 2 ส่วนคือ สัญลักษณ์ และมูลค่า ในการเขียนจำนวนเลขจะต้องมีเลขฐานกำกับไว้ทุกครั้ง ไม่เช่นนั้นอาจเข้าใจผิดกันได้ เช่น จำนวน 123 อาจเป็นได้ทั้งเลขฐาน 5,8,10,16 ก็ได้ถ้าราไม่เขียนฐานกำกับไว้ชัดเจน จะยกเว้นจำนวนเลขที่ไม่ต้องเขียนฐานกำกับไว้ก็ได้ เฉพาะเลขฐานสิบเท่านั้น เพราะเราคุ้นเคยกันจึงยกเว้นให้ ส่วนเลขฐานอื่น ๆ จะต้องเขียนเลขกำกับไว้ทุกครั้ง

3.1.1   การแปลงเลขจำนวนเต็ม

วิธีการแปลงที่ 1 โดยการลบ

1.   เอา 2ⁿ โดยให้มีค่าใกล้เคียงหรือเท่ากับเลขฐานสิบที่ต้องการจะแปลงโดยค่ายกกำลังลดลงทีละ 1

2.   เอาค่าที่ยกกำลังที่ได้จากขั้นที่ 1 มาลบออกจากเลขฐานสิบนั้นถ้าลบได้ใส่ 1 ถ้าลบไม่ได้ใส่ 0 เริ่มจาก    ซ้ายมือ

3.   ทำไปเรื่อยๆ จนหมด แล้วนำเลขที่ลบได้หรือไม่ได้มาวางเรียงโดยเริ่มจากซ้ายมือ

ตัวอย่าง 3.1 แปลงเลขฐานสิบ 29 ไปเป็นเลขฐานสอง

วิธีการแปลงที่ 1 โดยการหาร

1.   เอาเลขฐานสิบที่ต้องการแปลงตั้งหารด้วยสอง

2.   สนใจเศษ ถ้าหารลงตัว ให้เศษเป็น 0 ถ้าหารไม่ลงตัว ให้เศษเป็น 1

3.   หารไปเรื่อยๆ จนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร

4.    การตอบ จะเรียงข้อมูลจากล่างขึ้นบน โดยตัวบนจะเป็นหลักหน่วยเสมอ ตัวถัดไปจะนำมาจัดเรียงเป็นหลักสิบ ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ

ตัวอย่าง 3.2 แปลงเลขฐานสิบ 29 ไปเป็นเลขฐานสอง

3.1.2   การแปลงเลขทศนิยมฐานสิบเป็นเลขฐานสอง

กรณีเลขฐานสิบเป็นทศนิยม เราก็สามารถทำได้โดยการคูณเลขทศนิยมด้วย 2 ทุกๆ ครั้งที่คูณ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มในผลคูณ เราจะนำมาเป็นค่าของเลขฐานสอง แล้วนำค่าที่เป็นทศนิยมมาคูณด้วยสองอีก ทำไปเรื่อยๆจนกว่าจะไม่มีค่าหลังสุด แต่กรณีเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบก็จะตัดเอาตามจำนวนที่ต้องการ

วิธีการแปลงทศนิยมเลขฐานสิบเป็นฐานสอง

1. เขียนตัวเลขที่จะแปลง

2.นำตัวเลขนั้นมาคูณกับ 2 ผลลัพธ์ที่ได้ ให้สนใจเฉพาะเลขจำนวนเต็ม ซึ่งอาจจะเป็น 0 หรือ 1  ก็ได้ ส่วนชุดตัวเลขหลังจุดทศนิยมทางขวามือ ให้นำมาเริ่มทำเหมือน ข้อ 2 ใหม่

3. ให้ดำเนินการไปเรื่อยๆ จนกว่าเลขทศนิยมจะเป็น 0 เป็นตัวเลขวนซ้ำ หรือเป็นทศนิยมไม่รู้จบให้หยุดทำงาน

ข้อสังเกต              

1. เลขฐานสิบ  ที่ต้องการแปลงเป็นฐานสอง  จะนำมาคูณ หรือ หารกับ เลข 2 เท้านั้น  เนื่องจาก แปลงจากฐานสิบ ไปเป็น ฐานสอง

 2. วิธีการตอบ    กรณีเป็นจำนวนเต็ม   จะเขียนคำตอบจากล่างขึ้นบน

                              กรณีเป็นทศนิยม    จะเขียนคำตอบจากบนลงล่าง

3.2 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปด

วิธีการทำใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง ให้คูณหรือหารด้วยเลขฐาน โดยมี 2 กรณี

1.2.1  การแปลงเลขจำนวนเต็ม  ต้องหารด้วยฐาน คือ 8

ตัวอย่าง 3.4 จงแปลง 356 ฐานสิบ เป็นเลขฐานแปด

           8)  356                  =             8 x 44    = 352     นำ   356 – 352   จะได้เศษ               =             4

8)   44                   =             8 x 5      = 40       นำ   44 – 40       จะได้เศษ              =             4

         5                  ตอบได้เพราะตัวตั้ง (5) มีค่าน้อยกว่าตัวหาร (8)

ดังนั้น  (356)₁₀   =   (544)₈

1.2.2   การแปลงทศนิยม  ต้องคูณด้วยฐาน คือ 8

ตัวอย่าง 3.5 จงแปลง   0.72   ฐานสิบ เป็นเลขฐานแปด

              .72 x 8   =   5.76   เหลือ   .76   ใส่   5

.76 x 8   =   6.08   เหลือ   .08   ใส่   6

.08 x 8   =   0.64   เหลือ   .64   ใส่   0

.64 x 8   =   5.12   เหลือ   .12   ใส่   5

.12 x 8   =   0.96   เหลือ   .96   ใส่   0

.96 x 8   =   7.68   เหลือ   .68   ใส่   7

.68 x 8   =   5.44   เหลือ   .44   ใส่   5

.44 x 8   =   3.52   เหลือ   .52   ใส่   3

ตอบ       (0.72)₁₀    =   (0.56050753)₂

             _(0.72)10      =   (0.56)₂

3.3 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสิบหก

วิธีการทำใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปด ให้คูณหรือหารด้วยเลขฐาน โดยมี 2 กรณี

1.2.1    การแปลงเลขจำนวนเต็ม  ต้องหารด้วยฐาน คือ 16

ตัวอย่าง 3.6 จงแปลง 2531 ฐานสิบ เป็นเลขฐานสิบหก

   16)  2531              =             16 x 157 = 2528 นำ   2531 – 2528   จะได้เศษ          =             3

                   16)   158               =             16 x 9    = 144    นำ   158 – 144       จะได้เศษ         =             14 --> E

            9               ตอบได้เพราะตัวตั้ง (9) มีค่าน้อยกว่าตัวหาร (16)

ดังนั้น  (2531)₁₀   =   (9E3)₁₆

1.2.2     การแปลงทศนิยม  ต้องคูณด้วยฐาน คือ16

ตัวอย่าง 3.7 จงแปลง   0.85   ฐานสิบ เป็นเลขฐานสิบหก

.85 x 16   =   13  .60   เหลือ   .60   ใส่   13

.60 x 16   =    9  .60   เหลือ   .60   ใส่   9

ดังนั้นจะได้          = . 13   9

                                = . D9  ( 13 = D ในเลขฐานสิบหก)

 ตอบ      (0.85)₁₀    =   (0.D9)₁₆

ข้อสังเกต       เลขฐานสิบหก   จะใส่สัญลักษณ์ที่เป็นภาษาอังกฤษ   แทนตัวเลขตั้งแต่  10  ถึง  15

                        เช่น       จากตัวอย่างที่ 3.7 ใส่  E  แทน  14  เวลาตอบ

                         ต้องตอบเป็น        5E₁₆        (ห้าอีฐานสิบหก)

                          ไม่ใช่ตอบ             514₁₆      (ห้าสิบสี่ฐานสิบหก)

3.4  การแปลงเลขฐานสองเป็นฐานสิบ

3.4.1  การแปลงเลขจำนวนเต็ม 

เราสามารถทำการแปลงจากเลขฐานสอง  ไปเป็นเลขฐานอื่นๆ ที่เราถนัดก่อน เช่น แปลงไปเป็นเลขฐานแปด หรือเลข ฐานสิบหก ก่อนแล้วนำผลที่ได้ ไปแปลงเป็นเลขฐานสิบ

                ตัวอย่าง 3.8  จงแปลงเลข  1110₂ เป็นเลขฐานสิบ

                1110₂     =             (1x2³) + (1x2²) + (1x2¹) + (0x2⁰)

                                =             (1x8) + (1x4) + (1x2) + (0x1)

                                =                8     +     4    +    2    +    0

                1110₂     =             14₁₀         หรือ        1110₂     =             14

วิธีการแปลง         1. เขียนเลขฐานสองที่จะแปลง  1  1  1  0

                              2. หาค่าประจำหลักโดยเริ่มจากหลักหน่วยในที่นี้คือ   0   จะได้   1³   1²   1¹   0⁰

                              3. นำเลขแต่ละหลักมาคูณกับค่าของฐาน  คือ  2  ยกกำลัง ค่าประจำหลักจากข้อ 2 และนำ         แต่ละหลักมาบวกกัน   (1x2³) + (1x2²) + (1x2¹) + (0x2⁰)

                                4. หาค่าจากการยกกำลัง   (1x8)  + (1x4)  + (1x2)  + (0x1) แล้วคูณกับเลขแต่ละหลัก

                                5. นำแต่ละหลักมาบวกกัน   8     +     4    +    2    +    0  =  14

3.4.2   การแปลงเลขเลขทศนิยม 

ใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขจำนวนเต็มฐานสองไปเป็นฐานสิบ  แต่ค่าประจำหลักของแต่ละหลักจะติดลบ  เพราะเป็นจำนวนเลขที่อยู่หลังทศนิยม

                ตัวอย่าง 3.9  จงแปลงเลข  0.011₂ เป็นเลขฐานสิบ

                0.011₂    =             (0x2⁰) + (0x2^-1) + (1x2^-2) + (1x2^-3)             

                                =                0      +     0      + (1/4)    +  (1/8)            

                                =                0      +     0      +   0. 25  +  0.125

                0.011₂    =             0.375₁₀  

วิธีการแปลง         1. เขียนเลขฐานสองที่จะแปลง  0.011

                              2. หาค่าประจำหลักของเลขทศนิยมโดยเริ่มจากหลักซ้ายสุดที่อยู่ติดกับเลขทศนิยม

  0   =   0^-1   ,   1   =   1^-2   ,    1   =    1^-3   โดยค่าประจำหลักจะลดลงที่ละหนึ่ง   จากซ้ายที่ติดกับจุดทศนิยม   ไปทางขวา   (หลักการหาค่าจะตรงกันข้ามจำนวนเต็ม)

3. นำเลขแต่ละหลักมาคูณกับค่าของฐาน   คือ   2   ยกกำลัง   ค่าประจำหลักจากข้อ 2 และนำแต่ละหลักมาบวกกัน              (0x2^-1) + (1x2^-2) + (1x2^-3)

                                4. หาค่าจากการยกกำลัง   (0 x 1/2) + (0 x 1/4) + (1x 1/8)  แล้วคูณกับเลขในแต่ละหลัก

                                5. นำแต่ละหลักมาบวกกัน   0    +     0.25    +    0.125   =   0.375

ข้อสังเกต   จะต้องนำตัวเลขแต่ละหลักที่ต้องการแปลง  มาทำการคูณกับเลข 2 ยกกำลังค่าประจำหลักของแต่ละหลัก  (เพราะแปลงฐานสองไปเป็นฐานสิบ จะต้องคูณกับ 2 เท่านั้น)

สรุป  วิธีการแปลงฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบได้ดังนี้

วิธีที่ 1

1.     เขียนเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลง

2.     เขียนค่าประจำหลักแสดงไว้โดยใช้ฐาน  2  ยกกำลัง  โดยเริ่มจากขวา เป็นค่ายกกำลัง 2⁰ 2¹ 2² 2³ 2⁴ ไปเรื่อยๆ จนหมดเลขที่จะนำมาแปลง  ในกรณีที่เป็นทศนิยม จะเริ่มจากซ้าย  เป็นค่ายกกำลัง  2^-1 2^-2 2^-3 2^-4 ไปเรื่อยๆ จนหมดเลขที่จะนำมาแปลง

3.    เลขฐานสองที่อยู่ในหลักใดเป็นศูนย์ ให้ตัดออกไม่ต้องนำมาคำนวณ  ให้นำเลขฐานสองที่มีค่าประจำหลักเป็นหนึ่งเท่านั้นจึงนำมาหาค่า

4.    นำผลที่ได้จากการเอา 2 ยกกำลังค่าประจำหลัก ของแต่ละหลัก จากข้อ มาบวกกันทุกหลักจะได้ผลลัพธ์นั่นคือค่าของเลขฐานสิบที่มีค่าตรงกับค่าของเลขฐานสองนั้นๆ

วิธีที่ 2

1.    เขียนเลขฐานสองที่ต้องการนำมาแปลง

2.    เขียนค่าประจำหลักโดยใช้สูตร 2 ยกกำลังเพิ่มขึ้นทีละ 1 เช่น ถ้ามีเลขที่ต้องการแปลง 4 ตัวจะได้สูตร   8   4   2  1   ตั้งให้ตรงหลักโดยของเลขฐานสองนั้น

3.   ให้นำค่าประจำหลักในข้อ 2 มารวมกัน โดยพิจารณาเฉพาะค่าที่ตรงกับหลักเลขฐานสอง ที่เป็น 1 ถ้าตรงกับเลขฐานสองที่มีค่าเป็น 0 (ศูนย์) ไม่ต้องพิจารณา

 ตัวอย่าง 3.10 จงแปลง 1110₂  เป็นเลขฐานสิบ

วิธีที่ 1    1110₂                     =             (1x2³)+ (1x2²)+ (1x2¹)+ (0x2⁰)

                                                =                  8    +     4    +     2    +   0

                                                =             (14)₁₀

วิธีที่ 2    1110₂                     =             1              1              1              0

                                                                8              4              2              1

                                                =             8    +     4     +     2     +   0

                                                =             (14)₁₀

ตัวอย่าง 3.11 จงแปลง 10001101₂  เป็นเลขฐานสิบ

วิธีที่ 1    10001101₂            =             (1x2⁷)+ (0x2⁶)+ (0x2⁵)+ (0x2⁴)+ (1x2³)+ (1x2²)+ (0x2¹)+ (1x2⁰)

                                                =             (1x2⁷)+ (1x2³)+ (1x2²)+ (1x2⁰)

                                                =             128    +     8    +     4    +     1

                                                =             (141)₁₀

 วิธีที่ 2    10001101₂            =             1              0              0              0              1              1              0              1

                                                                128         64           32           16           8              4              2              1

                                                =             128   +    0    +    0     +     0      +   8    +     4    +     0      +    1

                                                =             (141)₁₀

3.5       การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด

ในการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปดนั้นมีการดำเนินการหลายวิธี ในกรณีนี้เลือกมาให้ศึกษาในกรณีที่คิดว่าง่ายที่สุด โดยการแบ่งกลุ่มเลขฐานสองออกเป็นชุด ชุดละ 3 บิต(ตัว) ของเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลง

3.5.1   การแปลงเลขจำนวนเต็มฐานสองเป็นฐานแปด

วิธีการแปลง

        1.   เขียนตัวเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลงเป็นเลขฐานแปด

        2.   แบ่งช่วงเลขจากด้านขวา (จากหลักหน่วย) มาเป็นชุดตัวเลข โดยแบ่งชุดละ 3 ตัว (3 บิต) เพราะได้จาก 2³ = 2  คูณกัน 3 ครั้ง ( 2x2x2 ) = 8 จึงเรียกว่าเลขฐานแปด  ถ้าชุดตัวเลขไม่ครบ 3 ตัว ให้เติม 0 ลงไปด้านซ้ายมือให้ครบ 3 ตัว เช่น

2.1      100110₂         =             100   110                         แสดงว่าได้เลข  2 ชุด

2.2      1100011101  =              001   100   011   101      แสดงว่าได้เลข  4 ชุด

                                                เติม 0 ทางซ้ายมือ เพื่อให้ครบ 3 ตัว (3 บิต)

        3.   เขียนเลขประจำหลักแต่ละหลักแต่ละหลัก เริ่มจากหลักหน่วย ดังนี้   4   2   1   เพราะ 4+2+1 = 7 เป็นตัวเลขสูงสุดของฐานแปด ได้จาก 2² = 4  ,  2¹ = 2  ,  2⁰ = 1  ซึ่งเราเรียกว่าค่าประจำหลัก

       4.  หลังจากแบ่งชุดตัวเลขฐานสองในข้อ  2  เสร็จแล้ว  ให้พิจารณาว่าถ้าเลขฐานสองตำแหน่งใด          เป็น  0 ให้ตัดทิ้ง  ไม่ต้องนำมารวม ถ้าเลขหลักใดเป็น  1  ให้นำค่าประจำหลักมารวมกันในชุดตัวเลขชุดนั้น  แล้วนำค่าตัวเลขของแต่ละชุดมาเขียนเรียงกัน

3.5.2   การแปลงทศนิยมฐานสองเป็นฐานแปด

วิธีการแปลง

หลักการแปลง ทำเหมือนกันกับการแปลงจำนวนเต็มฐานสองเป็นฐานแปด แต่การแบ่งชุดของตัวเลขชุดละ 3 ตัวให้เริ่มนับจากตัวเลขถัดจากจุดทศนิยม (ด้านซ้ายมือสุดติดจับจุดทศนิยม)  โดยใช้  4  2  1 เหมือนกัน และถ้าชุดใดมีตัวเลขไม่ครบ 3 ตัว ก็ให้เติม 0 ด้านขวามือสุดให้ครบ 3 (การเติม 0 จะเติมตรงกันข้ามกับกรณีจำนวนเต็ม)

 ตัวอย่าง 3.12       จงแปลง 10011.1101₂  เป็นเลขฐานแปด

ข้อสังเกต              1. ถ้าจำนวนเต็มให้แบ่งกลุ่ม  กลุ่มละ 3 ตัว  จากขวาไปซ้าย ตามลูกศรในตัวอย่าง 3.17

3.1.1   การแปลงเลขจำนวนเต็ม

วิธีการแปลงที่ 1 โดยการลบ

1.   เอา 2ⁿ โดยให้มีค่าใกล้เคียงหรือเท่ากับเลขฐานสิบที่ต้องการจะแปลงโดยค่ายกกำลังลดลงทีละ 1

2.   เอาค่าที่ยกกำลังที่ได้จากขั้นที่ 1 มาลบออกจากเลขฐานสิบนั้นถ้าลบได้ใส่ 1 ถ้าลบไม่ได้ใส่ 0 เริ่มจาก    ซ้ายมือ

3.   ทำไปเรื่อยๆ จนหมด แล้วนำเลขที่ลบได้หรือไม่ได้มาวางเรียงโดยเริ่มจากซ้ายมือ

ตัวอย่าง 3.1 แปลงเลขฐานสิบ 29 ไปเป็นเลขฐานสอง

วิธีการแปลงที่ 1 โดยการหาร

1.   เอาเลขฐานสิบที่ต้องการแปลงตั้งหารด้วยสอง

2.   สนใจเศษ ถ้าหารลงตัว ให้เศษเป็น 0 ถ้าหารไม่ลงตัว ให้เศษเป็น 1

3.   หารไปเรื่อยๆ จนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร

4.    การตอบ จะเรียงข้อมูลจากล่างขึ้นบน โดยตัวบนจะเป็นหลักหน่วยเสมอ ตัวถัดไปจะนำมาจัดเรียงเป็นหลักสิบ ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ

ตัวอย่าง 3.2 แปลงเลขฐานสิบ 29 ไปเป็นเลขฐานสอง

3.1.2   การแปลงเลขทศนิยมฐานสิบเป็นเลขฐานสอง

กรณีเลขฐานสิบเป็นทศนิยม เราก็สามารถทำได้โดยการคูณเลขทศนิยมด้วย 2 ทุกๆ ครั้งที่คูณ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มในผลคูณ เราจะนำมาเป็นค่าของเลขฐานสอง แล้วนำค่าที่เป็นทศนิยมมาคูณด้วยสองอีก ทำไปเรื่อยๆจนกว่าจะไม่มีค่าหลังสุด แต่กรณีเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบก็จะตัดเอาตามจำนวนที่ต้องการ

วิธีการแปลงทศนิยมเลขฐานสิบเป็นฐานสอง

1. เขียนตัวเลขที่จะแปลง

2.นำตัวเลขนั้นมาคูณกับ 2 ผลลัพธ์ที่ได้ ให้สนใจเฉพาะเลขจำนวนเต็ม ซึ่งอาจจะเป็น 0 หรือ 1  ก็ได้ ส่วนชุดตัวเลขหลังจุดทศนิยมทางขวามือ ให้นำมาเริ่มทำเหมือน ข้อ 2 ใหม่

3. ให้ดำเนินการไปเรื่อยๆ จนกว่าเลขทศนิยมจะเป็น 0 เป็นตัวเลขวนซ้ำ หรือเป็นทศนิยมไม่รู้จบให้หยุดทำงาน

ข้อสังเกต              

1. เลขฐานสิบ  ที่ต้องการแปลงเป็นฐานสอง  จะนำมาคูณ หรือ หารกับ เลข 2 เท้านั้น  เนื่องจาก แปลงจากฐานสิบ ไปเป็น ฐานสอง

 2. วิธีการตอบ    กรณีเป็นจำนวนเต็ม   จะเขียนคำตอบจากล่างขึ้นบน

                              กรณีเป็นทศนิยม    จะเขียนคำตอบจากบนลงล่าง

3.2 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปด

วิธีการทำใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง ให้คูณหรือหารด้วยเลขฐาน โดยมี 2 กรณี

1.2.1  การแปลงเลขจำนวนเต็ม  ต้องหารด้วยฐาน คือ 8

ตัวอย่าง 3.4 จงแปลง 356 ฐานสิบ เป็นเลขฐานแปด

           8)  356                  =             8 x 44    = 352     นำ   356 – 352   จะได้เศษ               =             4

8)   44                   =             8 x 5      = 40       นำ   44 – 40       จะได้เศษ              =             4

         5                  ตอบได้เพราะตัวตั้ง (5) มีค่าน้อยกว่าตัวหาร (8)

ดังนั้น  (356)₁₀   =   (544)₈

1.2.2   การแปลงทศนิยม  ต้องคูณด้วยฐาน คือ 8

ตัวอย่าง 3.5 จงแปลง   0.72   ฐานสิบ เป็นเลขฐานแปด

              .72 x 8   =   5.76   เหลือ   .76   ใส่   5

.76 x 8   =   6.08   เหลือ   .08   ใส่   6

.08 x 8   =   0.64   เหลือ   .64   ใส่   0

.64 x 8   =   5.12   เหลือ   .12   ใส่   5

.12 x 8   =   0.96   เหลือ   .96   ใส่   0

.96 x 8   =   7.68   เหลือ   .68   ใส่   7

.68 x 8   =   5.44   เหลือ   .44   ใส่   5

.44 x 8   =   3.52   เหลือ   .52   ใส่   3

ตอบ       (0.72)₁₀    =   (0.56050753)₂

             _(0.72)10      =   (0.56)₂

3.3 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสิบหก

วิธีการทำใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปด ให้คูณหรือหารด้วยเลขฐาน โดยมี 2 กรณี

1.2.1    การแปลงเลขจำนวนเต็ม  ต้องหารด้วยฐาน คือ 16

ตัวอย่าง 3.6 จงแปลง 2531 ฐานสิบ เป็นเลขฐานสิบหก

   16)  2531              =             16 x 157 = 2528 นำ   2531 – 2528   จะได้เศษ          =             3

                   16)   158               =             16 x 9    = 144    นำ   158 – 144       จะได้เศษ         =             14 --> E

            9               ตอบได้เพราะตัวตั้ง (9) มีค่าน้อยกว่าตัวหาร (16)

ดังนั้น  (2531)₁₀   =   (9E3)₁₆

1.2.2     การแปลงทศนิยม  ต้องคูณด้วยฐาน คือ16

ตัวอย่าง 3.7 จงแปลง   0.85   ฐานสิบ เป็นเลขฐานสิบหก

.85 x 16   =   13  .60   เหลือ   .60   ใส่   13

.60 x 16   =    9  .60   เหลือ   .60   ใส่   9

ดังนั้นจะได้          = . 13   9

                                = . D9  ( 13 = D ในเลขฐานสิบหก)

 ตอบ      (0.85)₁₀    =   (0.D9)₁₆

ข้อสังเกต       เลขฐานสิบหก   จะใส่สัญลักษณ์ที่เป็นภาษาอังกฤษ   แทนตัวเลขตั้งแต่  10  ถึง  15

                        เช่น       จากตัวอย่างที่ 3.7 ใส่  E  แทน  14  เวลาตอบ

                         ต้องตอบเป็น        5E₁₆        (ห้าอีฐานสิบหก)

                          ไม่ใช่ตอบ             514₁₆      (ห้าสิบสี่ฐานสิบหก)

3.4  การแปลงเลขฐานสองเป็นฐานสิบ

3.4.1  การแปลงเลขจำนวนเต็ม 

เราสามารถทำการแปลงจากเลขฐานสอง  ไปเป็นเลขฐานอื่นๆ ที่เราถนัดก่อน เช่น แปลงไปเป็นเลขฐานแปด หรือเลข ฐานสิบหก ก่อนแล้วนำผลที่ได้ ไปแปลงเป็นเลขฐานสิบ

                ตัวอย่าง 3.8  จงแปลงเลข  1110₂ เป็นเลขฐานสิบ

                1110₂     =             (1x2³) + (1x2²) + (1x2¹) + (0x2⁰)

                                =             (1x8) + (1x4) + (1x2) + (0x1)

                                =                8     +     4    +    2    +    0

                1110₂     =             14₁₀         หรือ        1110₂     =             14

วิธีการแปลง         1. เขียนเลขฐานสองที่จะแปลง  1  1  1  0

                              2. หาค่าประจำหลักโดยเริ่มจากหลักหน่วยในที่นี้คือ   0   จะได้   1³   1²   1¹   0⁰

                              3. นำเลขแต่ละหลักมาคูณกับค่าของฐาน  คือ  2  ยกกำลัง ค่าประจำหลักจากข้อ 2 และนำ         แต่ละหลักมาบวกกัน   (1x2³) + (1x2²) + (1x2¹) + (0x2⁰)

                                4. หาค่าจากการยกกำลัง   (1x8)  + (1x4)  + (1x2)  + (0x1) แล้วคูณกับเลขแต่ละหลัก

                                5. นำแต่ละหลักมาบวกกัน   8     +     4    +    2    +    0  =  14

3.4.2   การแปลงเลขเลขทศนิยม 

ใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขจำนวนเต็มฐานสองไปเป็นฐานสิบ  แต่ค่าประจำหลักของแต่ละหลักจะติดลบ  เพราะเป็นจำนวนเลขที่อยู่หลังทศนิยม

                ตัวอย่าง 3.9  จงแปลงเลข  0.011₂ เป็นเลขฐานสิบ

                0.011₂    =             (0x2⁰) + (0x2^-1) + (1x2^-2) + (1x2^-3)             

                                =                0      +     0      + (1/4)    +  (1/8)            

                                =                0      +     0      +   0. 25  +  0.125

                0.011₂    =             0.375₁₀  

วิธีการแปลง         1. เขียนเลขฐานสองที่จะแปลง  0.011

                              2. หาค่าประจำหลักของเลขทศนิยมโดยเริ่มจากหลักซ้ายสุดที่อยู่ติดกับเลขทศนิยม

  0   =   0^-1   ,   1   =   1^-2   ,    1   =    1^-3   โดยค่าประจำหลักจะลดลงที่ละหนึ่ง   จากซ้ายที่ติดกับจุดทศนิยม   ไปทางขวา   (หลักการหาค่าจะตรงกันข้ามจำนวนเต็ม)

3. นำเลขแต่ละหลักมาคูณกับค่าของฐาน   คือ   2   ยกกำลัง   ค่าประจำหลักจากข้อ 2 และนำแต่ละหลักมาบวกกัน              (0x2^-1) + (1x2^-2) + (1x2^-3)

                                4. หาค่าจากการยกกำลัง   (0 x 1/2) + (0 x 1/4) + (1x 1/8)  แล้วคูณกับเลขในแต่ละหลัก

                                5. นำแต่ละหลักมาบวกกัน   0    +     0.25    +    0.125   =   0.375

ข้อสังเกต   จะต้องนำตัวเลขแต่ละหลักที่ต้องการแปลง  มาทำการคูณกับเลข 2 ยกกำลังค่าประจำหลักของแต่ละหลัก  (เพราะแปลงฐานสองไปเป็นฐานสิบ จะต้องคูณกับ 2 เท่านั้น)

สรุป  วิธีการแปลงฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบได้ดังนี้

วิธีที่ 1

1.     เขียนเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลง

2.     เขียนค่าประจำหลักแสดงไว้โดยใช้ฐาน  2  ยกกำลัง  โดยเริ่มจากขวา เป็นค่ายกกำลัง 2⁰ 2¹ 2² 2³ 2⁴ ไปเรื่อยๆ จนหมดเลขที่จะนำมาแปลง  ในกรณีที่เป็นทศนิยม จะเริ่มจากซ้าย  เป็นค่ายกกำลัง  2^-1 2^-2 2^-3 2^-4 ไปเรื่อยๆ จนหมดเลขที่จะนำมาแปลง

3.    เลขฐานสองที่อยู่ในหลักใดเป็นศูนย์ ให้ตัดออกไม่ต้องนำมาคำนวณ  ให้นำเลขฐานสองที่มีค่าประจำหลักเป็นหนึ่งเท่านั้นจึงนำมาหาค่า

4.    นำผลที่ได้จากการเอา 2 ยกกำลังค่าประจำหลัก ของแต่ละหลัก จากข้อ มาบวกกันทุกหลักจะได้ผลลัพธ์นั่นคือค่าของเลขฐานสิบที่มีค่าตรงกับค่าของเลขฐานสองนั้นๆ

วิธีที่ 2

1.    เขียนเลขฐานสองที่ต้องการนำมาแปลง

2.    เขียนค่าประจำหลักโดยใช้สูตร 2 ยกกำลังเพิ่มขึ้นทีละ 1 เช่น ถ้ามีเลขที่ต้องการแปลง 4 ตัวจะได้สูตร   8   4   2  1   ตั้งให้ตรงหลักโดยของเลขฐานสองนั้น

3.   ให้นำค่าประจำหลักในข้อ 2 มารวมกัน โดยพิจารณาเฉพาะค่าที่ตรงกับหลักเลขฐานสอง ที่เป็น 1 ถ้าตรงกับเลขฐานสองที่มีค่าเป็น 0 (ศูนย์) ไม่ต้องพิจารณา

 ตัวอย่าง 3.10 จงแปลง 1110₂  เป็นเลขฐานสิบ

วิธีที่ 1    1110₂                     =             (1x2³)+ (1x2²)+ (1x2¹)+ (0x2⁰)

                                                =                  8    +     4    +     2    +   0

                                                =             (14)₁₀

วิธีที่ 2    1110₂                     =             1              1              1              0

                                                                8              4              2              1

                                                =             8    +     4     +     2     +   0

                                                =             (14)₁₀

ตัวอย่าง 3.11 จงแปลง 10001101₂  เป็นเลขฐานสิบ

วิธีที่ 1    10001101₂            =             (1x2⁷)+ (0x2⁶)+ (0x2⁵)+ (0x2⁴)+ (1x2³)+ (1x2²)+ (0x2¹)+ (1x2⁰)

                                                =             (1x2⁷)+ (1x2³)+ (1x2²)+ (1x2⁰)

                                                =             128    +     8    +     4    +     1

                                                =             (141)₁₀

 วิธีที่ 2    10001101₂            =             1              0              0              0              1              1              0              1

                                                                128         64           32           16           8              4              2              1

                                                =             128   +    0    +    0     +     0      +   8    +     4    +     0      +    1

                                                =             (141)₁₀

3.5       การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด

ในการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปดนั้นมีการดำเนินการหลายวิธี ในกรณีนี้เลือกมาให้ศึกษาในกรณีที่คิดว่าง่ายที่สุด โดยการแบ่งกลุ่มเลขฐานสองออกเป็นชุด ชุดละ 3 บิต(ตัว) ของเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลง

3.5.1   การแปลงเลขจำนวนเต็มฐานสองเป็นฐานแปด

วิธีการแปลง

        1.   เขียนตัวเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลงเป็นเลขฐานแปด

        2.   แบ่งช่วงเลขจากด้านขวา (จากหลักหน่วย) มาเป็นชุดตัวเลข โดยแบ่งชุดละ 3 ตัว (3 บิต) เพราะได้จาก 2³ = 2  คูณกัน 3 ครั้ง ( 2x2x2 ) = 8 จึงเรียกว่าเลขฐานแปด  ถ้าชุดตัวเลขไม่ครบ 3 ตัว ให้เติม 0 ลงไปด้านซ้ายมือให้ครบ 3 ตัว เช่น

2.1      100110₂         =             100   110                         แสดงว่าได้เลข  2 ชุด

2.2      1100011101  =              001   100   011   101      แสดงว่าได้เลข  4 ชุด

                                                เติม 0 ทางซ้ายมือ เพื่อให้ครบ 3 ตัว (3 บิต)

        3.   เขียนเลขประจำหลักแต่ละหลักแต่ละหลัก เริ่มจากหลักหน่วย ดังนี้   4   2   1   เพราะ 4+2+1 = 7 เป็นตัวเลขสูงสุดของฐานแปด ได้จาก 2² = 4  ,  2¹ = 2  ,  2⁰ = 1  ซึ่งเราเรียกว่าค่าประจำหลัก

       4.  หลังจากแบ่งชุดตัวเลขฐานสองในข้อ  2  เสร็จแล้ว  ให้พิจารณาว่าถ้าเลขฐานสองตำแหน่งใด          เป็น  0 ให้ตัดทิ้ง  ไม่ต้องนำมารวม ถ้าเลขหลักใดเป็น  1  ให้นำค่าประจำหลักมารวมกันในชุดตัวเลขชุดนั้น  แล้วนำค่าตัวเลขของแต่ละชุดมาเขียนเรียงกัน

3.5.2   การแปลงทศนิยมฐานสองเป็นฐานแปด

วิธีการแปลง

หลักการแปลง ทำเหมือนกันกับการแปลงจำนวนเต็มฐานสองเป็นฐานแปด แต่การแบ่งชุดของตัวเลขชุดละ 3 ตัวให้เริ่มนับจากตัวเลขถัดจากจุดทศนิยม (ด้านซ้ายมือสุดติดจับจุดทศนิยม)  โดยใช้  4  2  1 เหมือนกัน และถ้าชุดใดมีตัวเลขไม่ครบ 3 ตัว ก็ให้เติม 0 ด้านขวามือสุดให้ครบ 3 (การเติม 0 จะเติมตรงกันข้ามกับกรณีจำนวนเต็ม)

 ตัวอย่าง 3.12       จงแปลง 10011.1101₂  เป็นเลขฐานแปด

ข้อสังเกต              1. ถ้าจำนวนเต็มให้แบ่งกลุ่ม  กลุ่มละ 3 ตัว  จากขวาไปซ้าย ตามลูกศรในตัวอย่าง 3.17