แบบฝึกหัดบทที่ 3

แบบฝึกหัด

บทที่ 3

1. 264 มีค่าเท่าไรในระบบเลขฐานสอง

ก. 100010000ฐาน 2

ข. 101101011ฐาน2

ค. 100001000ฐาน2

ง. 101010101ฐาน2

2. 175 ฐาน 8 มีค่าเท่าไรในระบบเลขฐานสอง

ก. 1000101 ฐาน 2

ข. 1011101ฐาน2

ค. 1111101ฐาน2

ง. 1011011ฐาน2

3. 222 มีค่าเท่าไรในระบบเลขฐานสอง

ก. 11010111ฐาน2

ข. 11100100ฐาน2

ค. 11001010ฐาน2

ง. 10111010ฐาน2

4. 1100110ฐาน2 มีค่าเท่าไรในระบบเลขฐานสิบ

ก. 102.

ข. 92.

ค. 84.

ง. 76

5. 1001100ฐาน2 มีค่าเท่าไรในระบบเลขฐานสิบ

ก. 46.

ข. 56.

ค. 66.

ง. 76

6. 197 มีค่าเท่าไรในระบบเลขฐานสอง

ก. 10011011ฐาน2.

ข. 10100011ฐาน2.

ค. 11000101ฐาน2.

ง. 10011000ฐาน2

7. 201 มีค่าเท่าไรในระบบเลขฐานสอง

ก. 11010111ฐาน2.

ข. 11001001ฐาน2.

ค. 11001010ฐาน2.

ง. 10111010ฐาน2

8. 37ฐาน8 มีค่าเท่าไรในระบบเลขฐานสิบ

ก. 30.

ข. 31.

ค. 32.

ง. 33

9. 63ฐาน8 มีค่าเท่าไรในระบบเลขฐานสิบ

ก. 34.

ข. 51.

ค. 67.

ง. 72

10. 39 มีค่าเท่าไรในระบบเลขฐานสอง

ก. 100101ฐาน2.

ข. 100111ฐาน2.

ค. 100001ฐาน2.

ง. 100010ฐาน2

บทที่ 3.ระบบเลขฐาน

ตารางแสดงการเปรียบเทียบเลขฐานสิบ ฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบหก

เลขฐานสิบ	เลขฐานสอง	เลขฐานแปด	เลขฐานสิบหก
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	6	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11
. . .	. . .	. . .	. . .
30	11110	36	1E
31	11111	37	1F

ข้อสังเกต  1. เลขฐานใด ๆ จะมีตัวเลขน้อยกว่าฐานนั้น ๆ อยู่ 1 เสมอการแทนลักษณะข้อมูลในคอมพิวเตอร์

การแปลงเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์

    

     ตัวเลขที่เราใช้อยู่ในปัจจุบัน มีส่วนสำคัญ 2 ส่วนคือ สัญลักษณ์ และมูลค่า ในการเขียนจำนวนเลขจะต้องมีเลขฐานกำกับไว้ทุกครั้ง ไม่เช่นนั้นอาจเข้าใจผิดกันได้ เช่น จำนวน 123 อาจเป็นได้ทั้งเลขฐาน 5,8,10,16 ก็ได้ถ้าราไม่เขียนฐานกำกับไว้ชัดเจน จะยกเว้นจำนวนเลขที่ไม่ต้องเขียนฐานกำกับไว้ก็ได้ เฉพาะเลขฐานสิบเท่านั้น เพราะเราคุ้นเคยกันจึงยกเว้นให้ ส่วนเลขฐานอื่น ๆ จะต้องเขียนเลขกำกับไว้ทุกครั้ง

3.1.1   การแปลงเลขจำนวนเต็ม

วิธีการแปลงที่ 1 โดยการลบ

1.   เอา 2ⁿ โดยให้มีค่าใกล้เคียงหรือเท่ากับเลขฐานสิบที่ต้องการจะแปลงโดยค่ายกกำลังลดลงทีละ 1

2.   เอาค่าที่ยกกำลังที่ได้จากขั้นที่ 1 มาลบออกจากเลขฐานสิบนั้นถ้าลบได้ใส่ 1 ถ้าลบไม่ได้ใส่ 0 เริ่มจาก    ซ้ายมือ

3.   ทำไปเรื่อยๆ จนหมด แล้วนำเลขที่ลบได้หรือไม่ได้มาวางเรียงโดยเริ่มจากซ้ายมือ

ตัวอย่าง 3.1 แปลงเลขฐานสิบ 29 ไปเป็นเลขฐานสอง

วิธีการแปลงที่ 1 โดยการหาร

1.   เอาเลขฐานสิบที่ต้องการแปลงตั้งหารด้วยสอง

2.   สนใจเศษ ถ้าหารลงตัว ให้เศษเป็น 0 ถ้าหารไม่ลงตัว ให้เศษเป็น 1

3.   หารไปเรื่อยๆ จนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร

4.    การตอบ จะเรียงข้อมูลจากล่างขึ้นบน โดยตัวบนจะเป็นหลักหน่วยเสมอ ตัวถัดไปจะนำมาจัดเรียงเป็นหลักสิบ ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ

ตัวอย่าง 3.2 แปลงเลขฐานสิบ 29 ไปเป็นเลขฐานสอง

3.1.2   การแปลงเลขทศนิยมฐานสิบเป็นเลขฐานสอง

กรณีเลขฐานสิบเป็นทศนิยม เราก็สามารถทำได้โดยการคูณเลขทศนิยมด้วย 2 ทุกๆ ครั้งที่คูณ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มในผลคูณ เราจะนำมาเป็นค่าของเลขฐานสอง แล้วนำค่าที่เป็นทศนิยมมาคูณด้วยสองอีก ทำไปเรื่อยๆจนกว่าจะไม่มีค่าหลังสุด แต่กรณีเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบก็จะตัดเอาตามจำนวนที่ต้องการ

วิธีการแปลงทศนิยมเลขฐานสิบเป็นฐานสอง

1. เขียนตัวเลขที่จะแปลง

2.นำตัวเลขนั้นมาคูณกับ 2 ผลลัพธ์ที่ได้ ให้สนใจเฉพาะเลขจำนวนเต็ม ซึ่งอาจจะเป็น 0 หรือ 1  ก็ได้ ส่วนชุดตัวเลขหลังจุดทศนิยมทางขวามือ ให้นำมาเริ่มทำเหมือน ข้อ 2 ใหม่

3. ให้ดำเนินการไปเรื่อยๆ จนกว่าเลขทศนิยมจะเป็น 0 เป็นตัวเลขวนซ้ำ หรือเป็นทศนิยมไม่รู้จบให้หยุดทำงาน

ข้อสังเกต              

1. เลขฐานสิบ  ที่ต้องการแปลงเป็นฐานสอง  จะนำมาคูณ หรือ หารกับ เลข 2 เท้านั้น  เนื่องจาก แปลงจากฐานสิบ ไปเป็น ฐานสอง

 2. วิธีการตอบ    กรณีเป็นจำนวนเต็ม   จะเขียนคำตอบจากล่างขึ้นบน

                              กรณีเป็นทศนิยม    จะเขียนคำตอบจากบนลงล่าง

3.2 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปด

วิธีการทำใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง ให้คูณหรือหารด้วยเลขฐาน โดยมี 2 กรณี

1.2.1  การแปลงเลขจำนวนเต็ม  ต้องหารด้วยฐาน คือ 8

ตัวอย่าง 3.4 จงแปลง 356 ฐานสิบ เป็นเลขฐานแปด

           8)  356                  =             8 x 44    = 352     นำ   356 – 352   จะได้เศษ               =             4

8)   44                   =             8 x 5      = 40       นำ   44 – 40       จะได้เศษ              =             4

         5                  ตอบได้เพราะตัวตั้ง (5) มีค่าน้อยกว่าตัวหาร (8)

ดังนั้น  (356)₁₀   =   (544)₈

1.2.2   การแปลงทศนิยม  ต้องคูณด้วยฐาน คือ 8

ตัวอย่าง 3.5 จงแปลง   0.72   ฐานสิบ เป็นเลขฐานแปด

              .72 x 8   =   5.76   เหลือ   .76   ใส่   5

.76 x 8   =   6.08   เหลือ   .08   ใส่   6

.08 x 8   =   0.64   เหลือ   .64   ใส่   0

.64 x 8   =   5.12   เหลือ   .12   ใส่   5

.12 x 8   =   0.96   เหลือ   .96   ใส่   0

.96 x 8   =   7.68   เหลือ   .68   ใส่   7

.68 x 8   =   5.44   เหลือ   .44   ใส่   5

.44 x 8   =   3.52   เหลือ   .52   ใส่   3

ตอบ       (0.72)₁₀    =   (0.56050753)₂

             _(0.72)10      =   (0.56)₂

3.3 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสิบหก

วิธีการทำใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปด ให้คูณหรือหารด้วยเลขฐาน โดยมี 2 กรณี

1.2.1    การแปลงเลขจำนวนเต็ม  ต้องหารด้วยฐาน คือ 16

ตัวอย่าง 3.6 จงแปลง 2531 ฐานสิบ เป็นเลขฐานสิบหก

   16)  2531              =             16 x 157 = 2528 นำ   2531 – 2528   จะได้เศษ          =             3

                   16)   158               =             16 x 9    = 144    นำ   158 – 144       จะได้เศษ         =             14 --> E

            9               ตอบได้เพราะตัวตั้ง (9) มีค่าน้อยกว่าตัวหาร (16)

ดังนั้น  (2531)₁₀   =   (9E3)₁₆

1.2.2     การแปลงทศนิยม  ต้องคูณด้วยฐาน คือ16

ตัวอย่าง 3.7 จงแปลง   0.85   ฐานสิบ เป็นเลขฐานสิบหก

.85 x 16   =   13  .60   เหลือ   .60   ใส่   13

.60 x 16   =    9  .60   เหลือ   .60   ใส่   9

ดังนั้นจะได้          = . 13   9

                                = . D9  ( 13 = D ในเลขฐานสิบหก)

 ตอบ      (0.85)₁₀    =   (0.D9)₁₆

ข้อสังเกต       เลขฐานสิบหก   จะใส่สัญลักษณ์ที่เป็นภาษาอังกฤษ   แทนตัวเลขตั้งแต่  10  ถึง  15

                        เช่น       จากตัวอย่างที่ 3.7 ใส่  E  แทน  14  เวลาตอบ

                         ต้องตอบเป็น        5E₁₆        (ห้าอีฐานสิบหก)

                          ไม่ใช่ตอบ             514₁₆      (ห้าสิบสี่ฐานสิบหก)

3.4  การแปลงเลขฐานสองเป็นฐานสิบ

3.4.1  การแปลงเลขจำนวนเต็ม 

เราสามารถทำการแปลงจากเลขฐานสอง  ไปเป็นเลขฐานอื่นๆ ที่เราถนัดก่อน เช่น แปลงไปเป็นเลขฐานแปด หรือเลข ฐานสิบหก ก่อนแล้วนำผลที่ได้ ไปแปลงเป็นเลขฐานสิบ

                ตัวอย่าง 3.8  จงแปลงเลข  1110₂ เป็นเลขฐานสิบ

                1110₂     =             (1x2³) + (1x2²) + (1x2¹) + (0x2⁰)

                                =             (1x8) + (1x4) + (1x2) + (0x1)

                                =                8     +     4    +    2    +    0

                1110₂     =             14₁₀         หรือ        1110₂     =             14

วิธีการแปลง         1. เขียนเลขฐานสองที่จะแปลง  1  1  1  0

                              2. หาค่าประจำหลักโดยเริ่มจากหลักหน่วยในที่นี้คือ   0   จะได้   1³   1²   1¹   0⁰

                              3. นำเลขแต่ละหลักมาคูณกับค่าของฐาน  คือ  2  ยกกำลัง ค่าประจำหลักจากข้อ 2 และนำ         แต่ละหลักมาบวกกัน   (1x2³) + (1x2²) + (1x2¹) + (0x2⁰)

                                4. หาค่าจากการยกกำลัง   (1x8)  + (1x4)  + (1x2)  + (0x1) แล้วคูณกับเลขแต่ละหลัก

                                5. นำแต่ละหลักมาบวกกัน   8     +     4    +    2    +    0  =  14

3.4.2   การแปลงเลขเลขทศนิยม 

ใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขจำนวนเต็มฐานสองไปเป็นฐานสิบ  แต่ค่าประจำหลักของแต่ละหลักจะติดลบ  เพราะเป็นจำนวนเลขที่อยู่หลังทศนิยม

                ตัวอย่าง 3.9  จงแปลงเลข  0.011₂ เป็นเลขฐานสิบ

                0.011₂    =             (0x2⁰) + (0x2^-1) + (1x2^-2) + (1x2^-3)             

                                =                0      +     0      + (1/4)    +  (1/8)            

                                =                0      +     0      +   0. 25  +  0.125

                0.011₂    =             0.375₁₀  

วิธีการแปลง         1. เขียนเลขฐานสองที่จะแปลง  0.011

                              2. หาค่าประจำหลักของเลขทศนิยมโดยเริ่มจากหลักซ้ายสุดที่อยู่ติดกับเลขทศนิยม

  0   =   0^-1   ,   1   =   1^-2   ,    1   =    1^-3   โดยค่าประจำหลักจะลดลงที่ละหนึ่ง   จากซ้ายที่ติดกับจุดทศนิยม   ไปทางขวา   (หลักการหาค่าจะตรงกันข้ามจำนวนเต็ม)

3. นำเลขแต่ละหลักมาคูณกับค่าของฐาน   คือ   2   ยกกำลัง   ค่าประจำหลักจากข้อ 2 และนำแต่ละหลักมาบวกกัน              (0x2^-1) + (1x2^-2) + (1x2^-3)

                                4. หาค่าจากการยกกำลัง   (0 x 1/2) + (0 x 1/4) + (1x 1/8)  แล้วคูณกับเลขในแต่ละหลัก

                                5. นำแต่ละหลักมาบวกกัน   0    +     0.25    +    0.125   =   0.375

ข้อสังเกต   จะต้องนำตัวเลขแต่ละหลักที่ต้องการแปลง  มาทำการคูณกับเลข 2 ยกกำลังค่าประจำหลักของแต่ละหลัก  (เพราะแปลงฐานสองไปเป็นฐานสิบ จะต้องคูณกับ 2 เท่านั้น)

สรุป  วิธีการแปลงฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบได้ดังนี้

วิธีที่ 1

1.     เขียนเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลง

2.     เขียนค่าประจำหลักแสดงไว้โดยใช้ฐาน  2  ยกกำลัง  โดยเริ่มจากขวา เป็นค่ายกกำลัง 2⁰ 2¹ 2² 2³ 2⁴ ไปเรื่อยๆ จนหมดเลขที่จะนำมาแปลง  ในกรณีที่เป็นทศนิยม จะเริ่มจากซ้าย  เป็นค่ายกกำลัง  2^-1 2^-2 2^-3 2^-4 ไปเรื่อยๆ จนหมดเลขที่จะนำมาแปลง

3.    เลขฐานสองที่อยู่ในหลักใดเป็นศูนย์ ให้ตัดออกไม่ต้องนำมาคำนวณ  ให้นำเลขฐานสองที่มีค่าประจำหลักเป็นหนึ่งเท่านั้นจึงนำมาหาค่า

4.    นำผลที่ได้จากการเอา 2 ยกกำลังค่าประจำหลัก ของแต่ละหลัก จากข้อ มาบวกกันทุกหลักจะได้ผลลัพธ์นั่นคือค่าของเลขฐานสิบที่มีค่าตรงกับค่าของเลขฐานสองนั้นๆ

วิธีที่ 2

1.    เขียนเลขฐานสองที่ต้องการนำมาแปลง

2.    เขียนค่าประจำหลักโดยใช้สูตร 2 ยกกำลังเพิ่มขึ้นทีละ 1 เช่น ถ้ามีเลขที่ต้องการแปลง 4 ตัวจะได้สูตร   8   4   2  1   ตั้งให้ตรงหลักโดยของเลขฐานสองนั้น

3.   ให้นำค่าประจำหลักในข้อ 2 มารวมกัน โดยพิจารณาเฉพาะค่าที่ตรงกับหลักเลขฐานสอง ที่เป็น 1 ถ้าตรงกับเลขฐานสองที่มีค่าเป็น 0 (ศูนย์) ไม่ต้องพิจารณา

 ตัวอย่าง 3.10 จงแปลง 1110₂  เป็นเลขฐานสิบ

วิธีที่ 1    1110₂                     =             (1x2³)+ (1x2²)+ (1x2¹)+ (0x2⁰)

                                                =                  8    +     4    +     2    +   0

                                                =             (14)₁₀

วิธีที่ 2    1110₂                     =             1              1              1              0

                                                                8              4              2              1

                                                =             8    +     4     +     2     +   0

                                                =             (14)₁₀

ตัวอย่าง 3.11 จงแปลง 10001101₂  เป็นเลขฐานสิบ

วิธีที่ 1    10001101₂            =             (1x2⁷)+ (0x2⁶)+ (0x2⁵)+ (0x2⁴)+ (1x2³)+ (1x2²)+ (0x2¹)+ (1x2⁰)

                                                =             (1x2⁷)+ (1x2³)+ (1x2²)+ (1x2⁰)

                                                =             128    +     8    +     4    +     1

                                                =             (141)₁₀

 วิธีที่ 2    10001101₂            =             1              0              0              0              1              1              0              1

                                                                128         64           32           16           8              4              2              1

                                                =             128   +    0    +    0     +     0      +   8    +     4    +     0      +    1

                                                =             (141)₁₀

3.5       การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด

ในการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปดนั้นมีการดำเนินการหลายวิธี ในกรณีนี้เลือกมาให้ศึกษาในกรณีที่คิดว่าง่ายที่สุด โดยการแบ่งกลุ่มเลขฐานสองออกเป็นชุด ชุดละ 3 บิต(ตัว) ของเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลง

3.5.1   การแปลงเลขจำนวนเต็มฐานสองเป็นฐานแปด

วิธีการแปลง

        1.   เขียนตัวเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลงเป็นเลขฐานแปด

        2.   แบ่งช่วงเลขจากด้านขวา (จากหลักหน่วย) มาเป็นชุดตัวเลข โดยแบ่งชุดละ 3 ตัว (3 บิต) เพราะได้จาก 2³ = 2  คูณกัน 3 ครั้ง ( 2x2x2 ) = 8 จึงเรียกว่าเลขฐานแปด  ถ้าชุดตัวเลขไม่ครบ 3 ตัว ให้เติม 0 ลงไปด้านซ้ายมือให้ครบ 3 ตัว เช่น

2.1      100110₂         =             100   110                         แสดงว่าได้เลข  2 ชุด

2.2      1100011101  =              001   100   011   101      แสดงว่าได้เลข  4 ชุด

                                                เติม 0 ทางซ้ายมือ เพื่อให้ครบ 3 ตัว (3 บิต)

        3.   เขียนเลขประจำหลักแต่ละหลักแต่ละหลัก เริ่มจากหลักหน่วย ดังนี้   4   2   1   เพราะ 4+2+1 = 7 เป็นตัวเลขสูงสุดของฐานแปด ได้จาก 2² = 4  ,  2¹ = 2  ,  2⁰ = 1  ซึ่งเราเรียกว่าค่าประจำหลัก

       4.  หลังจากแบ่งชุดตัวเลขฐานสองในข้อ  2  เสร็จแล้ว  ให้พิจารณาว่าถ้าเลขฐานสองตำแหน่งใด          เป็น  0 ให้ตัดทิ้ง  ไม่ต้องนำมารวม ถ้าเลขหลักใดเป็น  1  ให้นำค่าประจำหลักมารวมกันในชุดตัวเลขชุดนั้น  แล้วนำค่าตัวเลขของแต่ละชุดมาเขียนเรียงกัน

3.5.2   การแปลงทศนิยมฐานสองเป็นฐานแปด

วิธีการแปลง

หลักการแปลง ทำเหมือนกันกับการแปลงจำนวนเต็มฐานสองเป็นฐานแปด แต่การแบ่งชุดของตัวเลขชุดละ 3 ตัวให้เริ่มนับจากตัวเลขถัดจากจุดทศนิยม (ด้านซ้ายมือสุดติดจับจุดทศนิยม)  โดยใช้  4  2  1 เหมือนกัน และถ้าชุดใดมีตัวเลขไม่ครบ 3 ตัว ก็ให้เติม 0 ด้านขวามือสุดให้ครบ 3 (การเติม 0 จะเติมตรงกันข้ามกับกรณีจำนวนเต็ม)

 ตัวอย่าง 3.12       จงแปลง 10011.1101₂  เป็นเลขฐานแปด

ข้อสังเกต              1. ถ้าจำนวนเต็มให้แบ่งกลุ่ม  กลุ่มละ 3 ตัว  จากขวาไปซ้าย ตามลูกศรในตัวอย่าง 3.17

3.1.1   การแปลงเลขจำนวนเต็ม

วิธีการแปลงที่ 1 โดยการลบ

1.   เอา 2ⁿ โดยให้มีค่าใกล้เคียงหรือเท่ากับเลขฐานสิบที่ต้องการจะแปลงโดยค่ายกกำลังลดลงทีละ 1

2.   เอาค่าที่ยกกำลังที่ได้จากขั้นที่ 1 มาลบออกจากเลขฐานสิบนั้นถ้าลบได้ใส่ 1 ถ้าลบไม่ได้ใส่ 0 เริ่มจาก    ซ้ายมือ

3.   ทำไปเรื่อยๆ จนหมด แล้วนำเลขที่ลบได้หรือไม่ได้มาวางเรียงโดยเริ่มจากซ้ายมือ

ตัวอย่าง 3.1 แปลงเลขฐานสิบ 29 ไปเป็นเลขฐานสอง

วิธีการแปลงที่ 1 โดยการหาร

1.   เอาเลขฐานสิบที่ต้องการแปลงตั้งหารด้วยสอง

2.   สนใจเศษ ถ้าหารลงตัว ให้เศษเป็น 0 ถ้าหารไม่ลงตัว ให้เศษเป็น 1

3.   หารไปเรื่อยๆ จนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร

4.    การตอบ จะเรียงข้อมูลจากล่างขึ้นบน โดยตัวบนจะเป็นหลักหน่วยเสมอ ตัวถัดไปจะนำมาจัดเรียงเป็นหลักสิบ ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆ

ตัวอย่าง 3.2 แปลงเลขฐานสิบ 29 ไปเป็นเลขฐานสอง

3.1.2   การแปลงเลขทศนิยมฐานสิบเป็นเลขฐานสอง

กรณีเลขฐานสิบเป็นทศนิยม เราก็สามารถทำได้โดยการคูณเลขทศนิยมด้วย 2 ทุกๆ ครั้งที่คูณ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มในผลคูณ เราจะนำมาเป็นค่าของเลขฐานสอง แล้วนำค่าที่เป็นทศนิยมมาคูณด้วยสองอีก ทำไปเรื่อยๆจนกว่าจะไม่มีค่าหลังสุด แต่กรณีเป็นเลขทศนิยมไม่รู้จบก็จะตัดเอาตามจำนวนที่ต้องการ

วิธีการแปลงทศนิยมเลขฐานสิบเป็นฐานสอง

1. เขียนตัวเลขที่จะแปลง

2.นำตัวเลขนั้นมาคูณกับ 2 ผลลัพธ์ที่ได้ ให้สนใจเฉพาะเลขจำนวนเต็ม ซึ่งอาจจะเป็น 0 หรือ 1  ก็ได้ ส่วนชุดตัวเลขหลังจุดทศนิยมทางขวามือ ให้นำมาเริ่มทำเหมือน ข้อ 2 ใหม่

3. ให้ดำเนินการไปเรื่อยๆ จนกว่าเลขทศนิยมจะเป็น 0 เป็นตัวเลขวนซ้ำ หรือเป็นทศนิยมไม่รู้จบให้หยุดทำงาน

ข้อสังเกต              

1. เลขฐานสิบ  ที่ต้องการแปลงเป็นฐานสอง  จะนำมาคูณ หรือ หารกับ เลข 2 เท้านั้น  เนื่องจาก แปลงจากฐานสิบ ไปเป็น ฐานสอง

 2. วิธีการตอบ    กรณีเป็นจำนวนเต็ม   จะเขียนคำตอบจากล่างขึ้นบน

                              กรณีเป็นทศนิยม    จะเขียนคำตอบจากบนลงล่าง

3.2 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปด

วิธีการทำใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสอง ให้คูณหรือหารด้วยเลขฐาน โดยมี 2 กรณี

1.2.1  การแปลงเลขจำนวนเต็ม  ต้องหารด้วยฐาน คือ 8

ตัวอย่าง 3.4 จงแปลง 356 ฐานสิบ เป็นเลขฐานแปด

           8)  356                  =             8 x 44    = 352     นำ   356 – 352   จะได้เศษ               =             4

8)   44                   =             8 x 5      = 40       นำ   44 – 40       จะได้เศษ              =             4

         5                  ตอบได้เพราะตัวตั้ง (5) มีค่าน้อยกว่าตัวหาร (8)

ดังนั้น  (356)₁₀   =   (544)₈

1.2.2   การแปลงทศนิยม  ต้องคูณด้วยฐาน คือ 8

ตัวอย่าง 3.5 จงแปลง   0.72   ฐานสิบ เป็นเลขฐานแปด

              .72 x 8   =   5.76   เหลือ   .76   ใส่   5

.76 x 8   =   6.08   เหลือ   .08   ใส่   6

.08 x 8   =   0.64   เหลือ   .64   ใส่   0

.64 x 8   =   5.12   เหลือ   .12   ใส่   5

.12 x 8   =   0.96   เหลือ   .96   ใส่   0

.96 x 8   =   7.68   เหลือ   .68   ใส่   7

.68 x 8   =   5.44   เหลือ   .44   ใส่   5

.44 x 8   =   3.52   เหลือ   .52   ใส่   3

ตอบ       (0.72)₁₀    =   (0.56050753)₂

             _(0.72)10      =   (0.56)₂

3.3 การแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานสิบหก

วิธีการทำใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขฐานสิบเป็นฐานแปด ให้คูณหรือหารด้วยเลขฐาน โดยมี 2 กรณี

1.2.1    การแปลงเลขจำนวนเต็ม  ต้องหารด้วยฐาน คือ 16

ตัวอย่าง 3.6 จงแปลง 2531 ฐานสิบ เป็นเลขฐานสิบหก

   16)  2531              =             16 x 157 = 2528 นำ   2531 – 2528   จะได้เศษ          =             3

                   16)   158               =             16 x 9    = 144    นำ   158 – 144       จะได้เศษ         =             14 --> E

            9               ตอบได้เพราะตัวตั้ง (9) มีค่าน้อยกว่าตัวหาร (16)

ดังนั้น  (2531)₁₀   =   (9E3)₁₆

1.2.2     การแปลงทศนิยม  ต้องคูณด้วยฐาน คือ16

ตัวอย่าง 3.7 จงแปลง   0.85   ฐานสิบ เป็นเลขฐานสิบหก

.85 x 16   =   13  .60   เหลือ   .60   ใส่   13

.60 x 16   =    9  .60   เหลือ   .60   ใส่   9

ดังนั้นจะได้          = . 13   9

                                = . D9  ( 13 = D ในเลขฐานสิบหก)

 ตอบ      (0.85)₁₀    =   (0.D9)₁₆

ข้อสังเกต       เลขฐานสิบหก   จะใส่สัญลักษณ์ที่เป็นภาษาอังกฤษ   แทนตัวเลขตั้งแต่  10  ถึง  15

                        เช่น       จากตัวอย่างที่ 3.7 ใส่  E  แทน  14  เวลาตอบ

                         ต้องตอบเป็น        5E₁₆        (ห้าอีฐานสิบหก)

                          ไม่ใช่ตอบ             514₁₆      (ห้าสิบสี่ฐานสิบหก)

3.4  การแปลงเลขฐานสองเป็นฐานสิบ

3.4.1  การแปลงเลขจำนวนเต็ม 

เราสามารถทำการแปลงจากเลขฐานสอง  ไปเป็นเลขฐานอื่นๆ ที่เราถนัดก่อน เช่น แปลงไปเป็นเลขฐานแปด หรือเลข ฐานสิบหก ก่อนแล้วนำผลที่ได้ ไปแปลงเป็นเลขฐานสิบ

                ตัวอย่าง 3.8  จงแปลงเลข  1110₂ เป็นเลขฐานสิบ

                1110₂     =             (1x2³) + (1x2²) + (1x2¹) + (0x2⁰)

                                =             (1x8) + (1x4) + (1x2) + (0x1)

                                =                8     +     4    +    2    +    0

                1110₂     =             14₁₀         หรือ        1110₂     =             14

วิธีการแปลง         1. เขียนเลขฐานสองที่จะแปลง  1  1  1  0

                              2. หาค่าประจำหลักโดยเริ่มจากหลักหน่วยในที่นี้คือ   0   จะได้   1³   1²   1¹   0⁰

                              3. นำเลขแต่ละหลักมาคูณกับค่าของฐาน  คือ  2  ยกกำลัง ค่าประจำหลักจากข้อ 2 และนำ         แต่ละหลักมาบวกกัน   (1x2³) + (1x2²) + (1x2¹) + (0x2⁰)

                                4. หาค่าจากการยกกำลัง   (1x8)  + (1x4)  + (1x2)  + (0x1) แล้วคูณกับเลขแต่ละหลัก

                                5. นำแต่ละหลักมาบวกกัน   8     +     4    +    2    +    0  =  14

3.4.2   การแปลงเลขเลขทศนิยม 

ใช้หลักการเดียวกับการแปลงเลขจำนวนเต็มฐานสองไปเป็นฐานสิบ  แต่ค่าประจำหลักของแต่ละหลักจะติดลบ  เพราะเป็นจำนวนเลขที่อยู่หลังทศนิยม

                ตัวอย่าง 3.9  จงแปลงเลข  0.011₂ เป็นเลขฐานสิบ

                0.011₂    =             (0x2⁰) + (0x2^-1) + (1x2^-2) + (1x2^-3)             

                                =                0      +     0      + (1/4)    +  (1/8)            

                                =                0      +     0      +   0. 25  +  0.125

                0.011₂    =             0.375₁₀  

วิธีการแปลง         1. เขียนเลขฐานสองที่จะแปลง  0.011

                              2. หาค่าประจำหลักของเลขทศนิยมโดยเริ่มจากหลักซ้ายสุดที่อยู่ติดกับเลขทศนิยม

  0   =   0^-1   ,   1   =   1^-2   ,    1   =    1^-3   โดยค่าประจำหลักจะลดลงที่ละหนึ่ง   จากซ้ายที่ติดกับจุดทศนิยม   ไปทางขวา   (หลักการหาค่าจะตรงกันข้ามจำนวนเต็ม)

3. นำเลขแต่ละหลักมาคูณกับค่าของฐาน   คือ   2   ยกกำลัง   ค่าประจำหลักจากข้อ 2 และนำแต่ละหลักมาบวกกัน              (0x2^-1) + (1x2^-2) + (1x2^-3)

                                4. หาค่าจากการยกกำลัง   (0 x 1/2) + (0 x 1/4) + (1x 1/8)  แล้วคูณกับเลขในแต่ละหลัก

                                5. นำแต่ละหลักมาบวกกัน   0    +     0.25    +    0.125   =   0.375

ข้อสังเกต   จะต้องนำตัวเลขแต่ละหลักที่ต้องการแปลง  มาทำการคูณกับเลข 2 ยกกำลังค่าประจำหลักของแต่ละหลัก  (เพราะแปลงฐานสองไปเป็นฐานสิบ จะต้องคูณกับ 2 เท่านั้น)

สรุป  วิธีการแปลงฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบได้ดังนี้

วิธีที่ 1

1.     เขียนเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลง

2.     เขียนค่าประจำหลักแสดงไว้โดยใช้ฐาน  2  ยกกำลัง  โดยเริ่มจากขวา เป็นค่ายกกำลัง 2⁰ 2¹ 2² 2³ 2⁴ ไปเรื่อยๆ จนหมดเลขที่จะนำมาแปลง  ในกรณีที่เป็นทศนิยม จะเริ่มจากซ้าย  เป็นค่ายกกำลัง  2^-1 2^-2 2^-3 2^-4 ไปเรื่อยๆ จนหมดเลขที่จะนำมาแปลง

3.    เลขฐานสองที่อยู่ในหลักใดเป็นศูนย์ ให้ตัดออกไม่ต้องนำมาคำนวณ  ให้นำเลขฐานสองที่มีค่าประจำหลักเป็นหนึ่งเท่านั้นจึงนำมาหาค่า

4.    นำผลที่ได้จากการเอา 2 ยกกำลังค่าประจำหลัก ของแต่ละหลัก จากข้อ มาบวกกันทุกหลักจะได้ผลลัพธ์นั่นคือค่าของเลขฐานสิบที่มีค่าตรงกับค่าของเลขฐานสองนั้นๆ

วิธีที่ 2

1.    เขียนเลขฐานสองที่ต้องการนำมาแปลง

2.    เขียนค่าประจำหลักโดยใช้สูตร 2 ยกกำลังเพิ่มขึ้นทีละ 1 เช่น ถ้ามีเลขที่ต้องการแปลง 4 ตัวจะได้สูตร   8   4   2  1   ตั้งให้ตรงหลักโดยของเลขฐานสองนั้น

3.   ให้นำค่าประจำหลักในข้อ 2 มารวมกัน โดยพิจารณาเฉพาะค่าที่ตรงกับหลักเลขฐานสอง ที่เป็น 1 ถ้าตรงกับเลขฐานสองที่มีค่าเป็น 0 (ศูนย์) ไม่ต้องพิจารณา

 ตัวอย่าง 3.10 จงแปลง 1110₂  เป็นเลขฐานสิบ

วิธีที่ 1    1110₂                     =             (1x2³)+ (1x2²)+ (1x2¹)+ (0x2⁰)

                                                =                  8    +     4    +     2    +   0

                                                =             (14)₁₀

วิธีที่ 2    1110₂                     =             1              1              1              0

                                                                8              4              2              1

                                                =             8    +     4     +     2     +   0

                                                =             (14)₁₀

ตัวอย่าง 3.11 จงแปลง 10001101₂  เป็นเลขฐานสิบ

วิธีที่ 1    10001101₂            =             (1x2⁷)+ (0x2⁶)+ (0x2⁵)+ (0x2⁴)+ (1x2³)+ (1x2²)+ (0x2¹)+ (1x2⁰)

                                                =             (1x2⁷)+ (1x2³)+ (1x2²)+ (1x2⁰)

                                                =             128    +     8    +     4    +     1

                                                =             (141)₁₀

 วิธีที่ 2    10001101₂            =             1              0              0              0              1              1              0              1

                                                                128         64           32           16           8              4              2              1

                                                =             128   +    0    +    0     +     0      +   8    +     4    +     0      +    1

                                                =             (141)₁₀

3.5       การแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปด

ในการแปลงเลขฐานสองเป็นเลขฐานแปดนั้นมีการดำเนินการหลายวิธี ในกรณีนี้เลือกมาให้ศึกษาในกรณีที่คิดว่าง่ายที่สุด โดยการแบ่งกลุ่มเลขฐานสองออกเป็นชุด ชุดละ 3 บิต(ตัว) ของเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลง

3.5.1   การแปลงเลขจำนวนเต็มฐานสองเป็นฐานแปด

วิธีการแปลง

        1.   เขียนตัวเลขฐานสองที่ต้องการจะแปลงเป็นเลขฐานแปด

        2.   แบ่งช่วงเลขจากด้านขวา (จากหลักหน่วย) มาเป็นชุดตัวเลข โดยแบ่งชุดละ 3 ตัว (3 บิต) เพราะได้จาก 2³ = 2  คูณกัน 3 ครั้ง ( 2x2x2 ) = 8 จึงเรียกว่าเลขฐานแปด  ถ้าชุดตัวเลขไม่ครบ 3 ตัว ให้เติม 0 ลงไปด้านซ้ายมือให้ครบ 3 ตัว เช่น

2.1      100110₂         =             100   110                         แสดงว่าได้เลข  2 ชุด

2.2      1100011101  =              001   100   011   101      แสดงว่าได้เลข  4 ชุด

                                                เติม 0 ทางซ้ายมือ เพื่อให้ครบ 3 ตัว (3 บิต)

        3.   เขียนเลขประจำหลักแต่ละหลักแต่ละหลัก เริ่มจากหลักหน่วย ดังนี้   4   2   1   เพราะ 4+2+1 = 7 เป็นตัวเลขสูงสุดของฐานแปด ได้จาก 2² = 4  ,  2¹ = 2  ,  2⁰ = 1  ซึ่งเราเรียกว่าค่าประจำหลัก

       4.  หลังจากแบ่งชุดตัวเลขฐานสองในข้อ  2  เสร็จแล้ว  ให้พิจารณาว่าถ้าเลขฐานสองตำแหน่งใด          เป็น  0 ให้ตัดทิ้ง  ไม่ต้องนำมารวม ถ้าเลขหลักใดเป็น  1  ให้นำค่าประจำหลักมารวมกันในชุดตัวเลขชุดนั้น  แล้วนำค่าตัวเลขของแต่ละชุดมาเขียนเรียงกัน

3.5.2   การแปลงทศนิยมฐานสองเป็นฐานแปด

วิธีการแปลง

หลักการแปลง ทำเหมือนกันกับการแปลงจำนวนเต็มฐานสองเป็นฐานแปด แต่การแบ่งชุดของตัวเลขชุดละ 3 ตัวให้เริ่มนับจากตัวเลขถัดจากจุดทศนิยม (ด้านซ้ายมือสุดติดจับจุดทศนิยม)  โดยใช้  4  2  1 เหมือนกัน และถ้าชุดใดมีตัวเลขไม่ครบ 3 ตัว ก็ให้เติม 0 ด้านขวามือสุดให้ครบ 3 (การเติม 0 จะเติมตรงกันข้ามกับกรณีจำนวนเต็ม)

 ตัวอย่าง 3.12       จงแปลง 10011.1101₂  เป็นเลขฐานแปด

ข้อสังเกต              1. ถ้าจำนวนเต็มให้แบ่งกลุ่ม  กลุ่มละ 3 ตัว  จากขวาไปซ้าย ตามลูกศรในตัวอย่าง 3.17