ระบบจำนวนจริงที่ใช้อยู่ในทางคณิตศาสตร์จำแนกเป็นโครงสร้างดังนี้
 |
| โครงสร้างของระบบจำนวนจริง |
จากโครงสร้างระบบจำนวน จำนวนจริงเป็นระบบใหญ่ที่ครอบคลุมจำนวนชนิดต่าง ๆ แยกย่อยลงไปเป็นจำนวนตรรกยะและอตรรกยะจำนวนตรรกยะแบ่งเป็นจำนวนที่อยู่ในรูปของเศษส่วน ทศนิยมชนิดซ้ำและจำนวนเต็มจำนวนเต็มแบ่งเป็นจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบและศูนย์ ซึ่งจำนวนเต็มบวกและจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนชนิดเดียวกัน แต่จำนวนธรรมชาติหรือจำนวนนับมีกำเนิดและวิวัฒนาการมาก่อนจำนวนแต่ละชนิดที่กล่าวถึงในโครงสร้างของระบบจำนวนมีบทบาทใช้ในการคำนวณและสื่อสาร และโประโยชน์ด้านวิทยาศาสตร์แพร่หลายทั่วถึงระหว่างมวลมนุษย์ชาติทั่วโลก
จำนวนธรรมชาติเรียกอีกชื้อหนึ่งว่า จำนวนนับ มนุษย์เรียนรู้เกี่ยวกับคำนวณตั้งแต่สมัยดึกดำบรรพ์โดยเริ่มจากจากการนับซึ่งจะนับจำนวนสัตว์ที่ล่ามาเป็นอาหาร จำนวนสิ่งของที่มีอยู่ จำนวนที่ใช้ในการนับคือ 1,2,3,……. จำนวนนับเหล่านี้ในยุคดัน ๆ นับไม่ได้มากนัก และวิวัฒนาการนับได้มากขึ้นในระยะต่อมา จำนวนเหล่านี้เรียกว่า จำนวนธรรมชาติ (Natural Number) กำหนดให้เชตของจำนวนธรรมชาติเขียนแทนด้วย N โดยที่
N = {1,2,3,………}
หลังจากนั้นมนุษย์ได้เรียนรู้เกี่ยวกับจำนวนมากขึ้นจึงมีนักคิดที่เรียกว่าคณิตศาสตร์ได้คิดค้นเกี่ยวกับการปฎิบัติการระหว่างจำนวน ได้แก่ บวก (+) ลบ (-) คูณ (x) หาร() ตลอดจนกำหนดคุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติให้เป็นระบบ โดยกำหนดคุณสมบัติระบบจำนวนธรรมชาติกับการบวกและคูณก่อน
1.สมบัติปิด (Closure Law)
– กำหนดให้ a,b เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ ในเชต N แล้ว
– สำหรับการบวก a+b เป็นจำนวนธรรมชาติ
– สำหรับการคูณ a.b เป็นจำนวนธรรมชาติ
เช่น 2,5 เป็นจำนวนนับจะได้ 2+5 = 7 โดยที่ 7 เป็นจำนวนนัลเช่นกัน
2.สมบัติการจัดหมู่ (Associave Law)
– กำหนด a,b,c เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ ในเชต N แล้ว
– สำหรับการบวก (a+b)+c = a+(b+c) และสำหรับการคูณ (a.b).c = a.(b.c)
เช่น 2,5,9 เป็นจำนวนนับหรือจำนวนธรรมชาติจะได้ (2+5)+9 = 2+ (5+9)
3.สมบัติสลับที่ (Commutative Law)
– กำหนด a,b เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ ในเชต N แล้ว
– สำหรับการบวก (a+b) = b+a และสำหรับการคูณ a.b = b.a
เช่น 3+2 = 2+3 ผลลัพท์ที่ได้ยังคงเท่ากัน
4.เอกลักษณ์ (Identity) สำหรับการคูณ 1
– กำหนด a เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ จะได้ a.1 = 1.a = a
เช่น b เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้ 1.b = b.1 = b
สำหรับเอกลัษณ์การบวกมนจำนวนธรรมชาติไม่มีกำหนดไว้
5.สมบัติการกระจาย (Distridutive Law)
– ถ่า a,b,c เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ จะได้ว่า a.(b+c) = a.b + a.c
หรือ (b+c).a = b.a+c.a
หมายเหตุ การกำหนดเครื่องหมายคูณมีวิวัฒนาการตามลำดับ คือ ใช้ “ . ” แทนการคูณก่อนแล้วต่อมาคือเป็น “X” ที่เราคุ้นเคยในปัจจุบัน
เช่น 3 X 4 จะเขียนแทน 3.4
และ ab จะเขียนแทน a.b
เนื่องจากต่อมามีการคิดจำนวนทศนิยมขึ้นการใช้เครื่องหมายคูณแบบเดิมทำให้เกิดความสับสนได้ จึงไม่นิยมแต่ก็ยังมีใช้ในคณิตศาสตร์บางเรื่อง
คุณสมบัติเกี่ยวกับการลบและการหาร
กำหนดการลบโดยอาศัยคุณสมบัติของการบวก โดยที่การลบเป็นการกระทำกลับกันของการบวก ในจำนวนธรรมชาติ กล่าวคือถ้า a,b,d เป็นจำนวนธรรมชาติซึ่ง a-b=d หมายความว่า a ลบออกด้วย b จะเป็นไปได้เมื่อจำนวน d ที่ทำให้ a = b+d เช่น 2-5 เท่ากับเท่าใด จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ 5-2 = 3 ซึ่ง 3 เป็นจำนวนธรรมชาติที่ 5 =2+3 แต่ 2-5 ไม่มีผลลัพธ์ในจำนวนธรรมชาติ
กำหนดการหารโดยอาศัยคุณสมบัติของการคูณ โดยที่การหารเป็นการกระทำกลับของการคูณในจำนวนธรรมชาติ กล่าวคือ ถ้า a,b,c เป็นจำนวนธรรมชาติซึ้ง = c หมายความว่า การหาร a ด้วย b จะเป็นไปได้เมื่อมี c ที่ทำให้ a = bc และเรียก c ว่าผลหารของ a และ b การหารด้วย a ด้วย b เขียนแทน
a÷b หรือ a .
เมื่อพิจารณา a,b ที่เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ จะเห็นได้ว่า a-b และ , b 0 อาจเป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่ก็ได้ เช่น 5-8, , 9-9 ผลลัพธ์ของจำนวนเหล่านี้ไม่เป็นจำนวนธรรมชาติ
นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นแก่ปัญหาเหล่านี้โดยเพิ่ม 0 (ศูนย์) เข้าไปในระบบจำนวนธรรมชาติ โดยกำหนด a เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ จะได้ว่า a + 0 = 0 + a = a เพิ่ม “ –a ” โดยกำหนด a+ (-a) = (-a) + a = 0 และเรียกว่า –a ว่าเป็นจำนวนเต็มลบ ของ a และนิยมเรียกจำนวนธรรมชาติเป็นจำนวนเต็มบวก รวมจำนวนเต็มบวก จำนวนศูนย์และจำนวนเต็มลบด้วยกันเป็นจำนวนเต็ม และเขียนแทนด้วย l โอยที่ l = {…..,-3,-2,-1,0,1,2,3,….}
พิจารณาความสัมพันธ์ของจำนวนธรรมชาติ N = {1,2,3,…} พบว่าเป็นส่วนย่อยหรือเป็นเชตย่อยของเชต l
สัญลักษณ์ I+ แทนเชตจำนวนเต็มบวก
I+ = {1,2,3,…..}
I– แทนเชตจำนวนเต็มลบ
I– = {-1,-2,-3,….}
a – b หมายถึง a+(-b) โดยที่ a , b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ
คุณสมบัติของจำนวนเต็ม
ระบบของจำนวนเต็มกับการบวกและการคูณมีคุณสมบัติทั้งหมดเช่นเดียวกับจำนวนนับและมีสมบัติเพิ่มเติมดังนี้
-เอกลักษณ์ (ldentity) สำหรับการบวก 0 โดยที่ a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ จะได้ a + 0 = a = 0 + a เช่น
5+0 = 5 = 0 + 5
-ผกผัน (lnverse) สำหรับการบวก สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ จะมีจำนวเต็มเพียงจำนวนเดียวเท่านั้น คือ -a ที่ทำให้ a+ (-a) = 0 =(-a) + a และเรียก –a นี้ว่า ผกผันการบวกของ a เช่น สำหรับจำนวน 5 มี -5 เป็นผกผัน โดยที่ 5+ (-5) = 0 = (-5)+5
นักคณิตศาสตร์จึงคิดคัดจำนวนเต็มในรูปแบบเศษส่วน โดยกำหนด ,b≠0 เรียกว่าจำนวนตรรกยะ และจำนวนเต็ม a ใด ๆ ก็สามารถเขียนในรูปของเศษส่วนคือ ได้ดังนั้นจึงนับว่าเป็นจำนวน ตรรกยะด้วย
สำหรับเศษส่วน , b≠0 เมื่อทำให้อยู่ในรูปทศนิยมโดยการหารผลลัพธ์อาจจะเป็นทศนิยมซ้ำรู้จบ หรือ ทศนิยมซ้ำไม่รู้จบ อย่างใดอย่างหนึ่ง
กล่าวได้ว่าจำนวนตรรกยะประกอบด้วย จำนวนเต็ม เศษส่วน และทศนิยมซ้ำแบบรู้จบและไม่รู้จบ
สัญลักษณ์ ให้ Q แทนเชตจำนวนตรรกยะ และ Q ={ ซึ่ง p , q เป็นจำนวนเต็ม q≠0}
ทศนิยมซ้ำไม่รู้จบ
ได้แก่ จำนวนเศษส่วน ,b≠0 มีผลหารเป็นทศนิยมซ้ำกัน เช่น = 0.3333…เขียนแทนด้วย 0.3นั้นคือสามารถเขียนจำนวนเศษส่วนในรูปทศนิยมซ้ำได้ และทำนองเดียวกัน สามารถเขียนทศนิยมซ้ำไปอยู่ในรูปเศษส่วนได้
1.จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำกันไม่รู้จบ เช่น 3124568…… 0.123123412345……
2.จำนวนที่อยู่ในรูปกรณฑ์และไม่สามารถหาค่าให้เป็นจำนวนตรรกยะได้ เช่น
= 1.41421…..
= 1.72305….
3.จำนวน π = 141159…
e = 2.71828….
การปฏิบัติการของจำนวนอตรรกยะ
การบวกหรือลบ จำนวนอตรรกยะที่อยู่ในรูปของกรณฑ์ จะบวกหรือลบกันได้เมื่ออันดับที่ของเกณฑ์เท่ากัน และจำนวนภายในกรณฑ์เป็นจำนวนเดียวกัน
เช่น 1. +2 = 3 เมื่อ a 0 และผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะ
2. 3 -5 = -2 ผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะ
3. + (- ) = 0 ผลลัพธ์เป็นจำนวนอตรรกยะ
เป็นจำนวนของจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ มีคุณสมบัติครอบคลุมทั้งของจำนวนตรรกยะและอตตรกยะสำหรับการบวกและการคูณ ได้แก่ คุณสมบัติ การจักหมู่ การสลับที่ เอกลักษณ์ อินเวอร์ส และสมบัติการกระจาย เป็นต้น
ตัวอย่างของจำนวนจริง คือ จำนวนในทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ เช่น
,15,π, +
1.333…. ,5, 0 ,1 , -10 , ……
นอกจากคุณสมบัติดังกล่าวข้างต้นจำนวนจริงมีคุณสมบัติเพิ่มดังนี้
สมบัติการเท่ากัน (Equality Properties)
1.คุณสมบัติการสะท้อน ให้ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว a = a
2.คุณสมบัติการสมการ ให้ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว ถ้า a = b แล้ว b = a
3.คุณสมบัติการถ่ายทอด ให้ a,b และ c เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้วถ้า a = b แล้ว b + cแล้ว a+c
4.คุณสมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ให้ a, b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้วถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5.คุณสมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากันให้ a , b และ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้วถ้า a = b แล้ว ac = bc
ตัวอย่าง จงแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้คุณสมบัติเกี่ยวกับจำนวนจริงในแต่ละขั้นตอน
3(x-5) = x + 9
3x-15 = x + 9 (ใช้สมบัติการกระจาย)
3x – x – 15 + 15 = x+(-x) + 9 +15 (ใช้สมบัติการบวกด้วยจำนวนเท่ากัน)
2x = 24
(2x) = (24) (ใช้สมบัติคูณด้วยจำนวนเท่ากัน)
จะได้ว่า x = 12
การแก้สมการดีกรีหนึ่ง อสมการมีลักษณะสำคัญคือแปรสูงสุดดีกรีเป็นหนึ่ง
ตัวอย่าง จงแก้อสมการ x + 8 ≥ 10
วิธีทำ x + 8 + (-8) ≥ 10 + (-8) (บอกด้วยอินเวอร์สการบวกของ 8)
X + 0 ≥ 2 (เอกลักษณ์บวก 0)
X ≥ 2
คำตอบของอสมการคือ {x l x 2} หรือ [ 2, ∞ )
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น