บทที่ 2.เซต

 เซตจำกัด เซตอนันต์ เซตที่เท่ากัน เซตว่าง และเอกภพสัมพัทธ์

 เซต (Sets) หมายถึง กลุ่มสิ่งของต่างๆ ไม่ว่าจะเป็น คน สัตว์ สิ่งของ หรือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถระบุสมาชิกในกลุ่มได้ และเรียกสมาชิกในกลุ่มว่า "สมาชิกของเซต"

การเขียนเซต

          การเขียนเซตนิยมใช้อักษรตัวใหญ่เขียนแทนชื่อเซต และสามารถเขียนได้ 2แบบ

            1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต

                                ตัวอย่างเช่น           A = {1, 2, 3, 4, 5}

                                                B = { a, e, i, o, u}

                                                C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

                2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต

                 ตัวอย่างเช่น           A = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}

                                                B = { x | x เป็นสระในภาษาอังกฤษ}

                                                C = {x | x เป็นจำนวนเต็ม}

                 

          สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตของจำนวนต่าง ๆ มีดังนี้

                I- แทนเซตของจำนวนเต็มลบ              Q- แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นลบ

                I+ แทนเซตของจำนวนเต็มบวก           Q+ แทนเซตของจำนวนตรรกยะที่เป็นบวก

                I แทนเซตของจำนวนเต็ม                     Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ

                N แทนเซตของจำนวนนับ                    R แทนเซตของจำนวนจริง

เซตจำกัด                           

                บทนิยาม  เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถระบุจำนวนสมาชิกในเซตได้

                                ตัวอย่างเช่น           A = {1, 2, 3, 4, 5}                มีสมาชิก 5 สมาชิก

                                                               B = { a, e, i, o, u}               มีสมาชิก 5 สมาชิก

  

เซตอนันต์

    เซตอนันต์ คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด หรือเซตที่มีจำนวนสมาชิกมากมายนับไม่ถ้วน

      ตัวอย่างเช่่น      C = {...,-2,-1,0,1,2,...}

เซ็ตที่เท่ากัน

    เซต A และเซต B จะเป็น เซตที่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกทุกตัวของเซต A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A= B

 ตัวอย่างเช่น           A = {1, 2, 3, 4, 5}

                               B = { x | x เป็นจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5}

                               A = B

     เซตว่าง

   เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ {} หรือ Ø

   

ตัวอย่างเช่น           A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2}                  ∴ A = Ø

                              B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 }       ∴ ฺB = Ø

  เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

 เอกภพสัมพัทธ์

   เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เราต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u

   ตัวอย่างเช่น           ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม

                U = {...,-2,-1,0,1,2,...}       หรือ      U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}

สับเซต

        บทนิยาม     เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ⊂B

   ตัวอย่างที่ 1       A = {1, 2, 3}

                             B = { 1, 2, 3, 4, 5}

                            ∴    A ⊂ B

   ตัวอย่างที่ 2      C = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก } = {1,2,3,...}

                           D = { x | x เป็นจำนวนคี่ } = {...,-3,-1,1,3,...}

                          ∴   C  D

   ตัวอย่างที่ 3     E = { 0,1,2 }

                           F = { 2,1,0 }

                         ∴  E ⊂ F และ F ⊂ E

         จากตัวอย่างที่ 3 จะเห็นว่า E ⊂ F และ F ⊂ E แล้ว E = F

      สับเซตแท้               เซต A จะเป็นสับเซตแท้ของเซต B ก็ต่อเมื่อ A ⊂ B และ A ≠ B

      จำนวนสับเซต        ถ้า A เป็นเซตที่มีสมาชิก n สมาชิกแล้ว จำนวนสับเซตของเซต A จะมี 2n เซต และในจำนวนนี้เป็นสับเซตแท้ 2n - 1 เซต

      

เพาเวอร์เซต

      บทนิยาม       เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A และสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ P(A)

   ตัวอย่างที่ 1     A = Ø

                สับเซตทั้งหมดของ A คือ Ø

                ∴   P(A) = {Ø }

   ตัวอย่างที่ 2    B = {1}

                สับเซตทั้งหมดของ B คือ Ø, {1}

                ∴     P(B) = {Ø, {1} }

    ตัวอย่างที่ 3     C = {1,2}

                สับเซตทั้งหมดของ C คือ Ø, {1} , {2}, {1,2}

                ∴   P(C) ={Ø, {1} , {2}, {1,2} }

การเขียนแผนภาพแทนเซต

                    ในการเขียนแผนภาพแทนเซต เราเขียนรูปปิดสี่เหลี่ยมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ และรูปปิดวงกลม หรือวงรีแทนสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ ดังนี้

เราเรียกแผนภาพดังกล่าวข้างต้นนี้ว่า "แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์" (Venn-Euler Diagram)

ยูเนียน (Union)

      บทนิยาม         เซต A ยูเนียนกับเซต B คือเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ เซต B หรือทั้ง A และ B สามารถเขียนแทนได้ด้วย สัญลักษณ์ A ∪ B

    ตัวอย่างเช่น           A ={1,2,3}

                                     B= {3,4,5}

                ∴             A ∪ B = {1,2,3,4,5}

อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

บทนิยาม          เซต A อินเตอร์เซกชันเซต B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A และเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A ∩ B

     ตัวอย่างเช่น           A ={1,2,3}

                                      B= {3,4,5}

                ∴             A ∩ B = {3}

คอมพลีเมนต์ (Complements)

        บทนิยาม           ถ้าเซต A ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วคอมพลีเมนต์ของเซต A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A'

     ตัวอย่างเช่น           U = {1,2,3,4,5}

                                   A ={1,2,3}

                ∴              A' = {4,5}

ผลต่าง (Difference)

        บทนิยาม        ถ้าเซต A และ B เป็นเซตใดๆในเอกภพสัมพัทธ์ u เดียวกันแล้ว ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ A - B

    ตัวอย่างเช่น           A ={1,2,3}

                                      B= {3,4,5}

                ∴             A - B = {1,2}

จำนวนสมาชิกเซตจำกัด

. ถ้า A เป็นเซตจำกัดแล้ว สามารถเขียนแทนจำนวนสมาชิกของเซต A ด้วย n(A)

. ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว

n(A ∪) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

 n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B)

n(B - A) = n(B) - n(A ∩ B)

• ถ้า A, B และ C เป็นเซตจำกัดที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์ U แล้ว

 n(A ∪ B ∪ C )      = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩C)