บทที่ 5.ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

  1. ประพจน์ (Propostion)  คือ ตรรกศาสตร์เป็นวิชาหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันของเรา เป็นอย่างมาก เพราะว่าใน สภาพ สังคมทุกวันนี้ต้องมีการติดต่อสื่อสารอยู่ตลอดเวลา  ไม่ว่าจะอยู่ในลักษณะการพูดหรือการเขียน ข้อ ความ ทั้งนี้เพื่อที่จะให้อีกฝ่ายหนึ่งได้เข้าใจรับรู้และในบางครั้งก็ต้องมีการตัดสินใจ รับรู้ และใน บาง ครั้งก็ต้องมีการตัดสินใจซึ่งการรับรู้และการตัดสินใจจะเกิดขึ้นได้นั้นผู้ที่รับฟังหรืออ่านข้อความ นั้น ต้อง รู้ว่าข้อความที่พูดหรือเขียนนั้นเป็นจริงหรือเท็จ ในการพิจารณาว่าคำพูดหรือข้อความใดเป็นจริงหรือเท็จนั้น จะเกี่ยวข้องกับ วิชา ตรรกศาสตร์ควรจะศึกษาว่าคำพูดนั้นเป็นจริงหรือเท็จ เช่น

1.  จังหวัดเชียงใหม่อยู่เหนือจังหวัดนครสวรรค์ เราบอกได้ว่าข้อความนี้เป็นจริง
2.  พระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันตก  เราบอกได้ว่าข้อความนี้เป็นเท็จ          

3.  โปรดให้เงินผมบ้าง  เราไม่สามารถบอกได้ว่าข้อความนี้เป็นจริงหรือเท็จ                   

    ดังนั้นข้อความนี้จึงไม่ใช่ ประพจน์

ประพจน์สามารถรอการ พิสูจน์ได้ไม่ว่าจะนานแค่ไหนก็ตาม ***                      
  ตัวอย่าง ที่ไม่เป็นประพจน์
  1.ช่วยเปิดไฟให้หน่อย           
  2.ห้ามรบกวน            
  3.การแทนประพจน์จะใช้สัญลักษณ์ p, q, r … เพื่อแทน                    
  4.ประพจน์จะเรียกว่าประพจน์เบื้องต้น                   

ข้อตกลง 
1.เรียกข้อความที่เป็นจริงว่าข้อความที่มีค่าความจริงเป็นจริงและใช้  T  แทนค่าความจริงที่เป็นจริง

2.เรียกข้อความที่เป็นเท็จว่าข้อความที่มีค่าความจริงเป็นเท็จและใช้    F   แทนค่าความจริงที่เป็นเท็จ

บทนิยามประพจน์  คือ  ประโยคที่มีค่าความจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเพียง อย่าง เดียว ซึ่งประโยคดังกล่าวอาจจะอยู่ในประโยคบอกเล่า หรือในประโยคปฏิเสธก็ได้
ตัวอย่างประโยคที่ไม่เป็นประพจน์             
1.  ประโยคคำถาม เช่น ใครกันนะ             
2.  ประโยคคำสั่ง เช่น จงนั่งลง             
3.  ประโยคขอร้อง เช่นช่วยปิดหน้าต่างให้ หน่อย             
4.  ประโยคอ้อนวอน เช่น โปรดเมตตาด้วยเถิด             
5.  ประโยคแสดงความ ปรารถนาเช่น ฉันอยากเป็นนก             
6.  ประโยคอุทาน เช่น อุ๊ย....เจ็บ             
7.  สุภาษิตคำพังเพย เช่น น้ำลดตอพุด             
8.  ประโยคเปิด   เช่น  เขาเป็นดารานักร้อง
การแทนประพจน์จะใช้สัญลักษณ์ p, q, r … เพื่อแทนประพจน์ที่แตกต่างกัน ข้อความที่มีกริยาเพียงตัวเดียวและเป็นประพจน์จะเรียกว่าประพจน์เบื้องต้น

2.  ประโยคเปิด (Open Sentence) 
                ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร ไม่เป็นประพจน์ และเมื่อแทนที่ตัวแปรด้วยสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์แล้วได้ประพจน์
ประโยคเปิด เช่น

1.เขาเป็นนักว่ายน้ำทีมชาติไทยเขาเป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย ถ้าแทนเขาด้วยชื่อของนักฟุตบอลทีมชาติไทยประโยคนี้จะมีค่าเป็นจริง ถ้าแทนเข้าด้วยอื่นที่ไม่ใช่ชื่อนักฟุตบอลทีมชาติไทย ประโยคนี้จะมีค่าเป็นเท็จ
2.  x - 6 = 10 Y + 5 = 8 ถ้าแทนค่าของ Y ด้วย 3 ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นจริง   ถ้าแทนค่าของ Y ด้วยตัวเลขอื่น ประโยคนี้จะมีค่าออกมาเป็นเท็จ          

ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น
1. 10 เป็นคำตอบของสมการ x – 1 = 7
2. โลกหมุนรอบตัวเอง
3. จงหาค่า x จากสมการ 2x + 1 = 8
4. กรุณานั่งเงียบ ๆ

5. ห้ามสูบบุหรี่

การเชื่อมประพจน์

เนื่องจากในตรรกศาสตร์เราจะศึกษาประโยคในลักษณะใดเป็นจริงหรือ
ประโยคในลักษณะใดเป็นเท็จ  ดังนั้นเราจึงศึกษาประโยค ที่มีลักษณะ  เป็นประพจน์เท่านั้นและเพื่อสะดวก  เรานิยมใช้  p , q , r ,…. แทนประพจน์ที่กำหนด  และใช้ T และ F แทนค่าความจริง ที่เป็นจริงและเท็จ   ในทางตรรกศาสตร์
เรามีตัวเชื่อม ( connectives )  อยู่ 4  ตัว  คือ

ในการเชื่อมประโยคโดยส่วนมากจะใช้คำเชื่อมดังนี้

และ                        Ù               นิเสธ             ~

หรือ                       V

ถ้า...แล้ว                →

ก็ต่อเมื่อ                 ↔

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม " และ " ( Conjunction )ถ้า p และ q เป็นประพจน์ เขียนแทนประพจน์ " p และ q " ด้วย pÙq

 ตัวอย่าง 1     จงหาค่าความจริงของ 2 + 1 = 3 และ 1 < 2
                     ให้         p แทน 2 + 1 = 3               มีค่าความจริงเป็น จริง
                                  q แทน 1 < 2                     มีค่าความจริงเป็น จริง
         จะได้     pÙq : 2 + 1 = 3 และ 1 < 2            มีค่าความจริงเป็น จริง

 การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม " หรือ " ( disjunction )
 ถ้า p และ q เป็นประพจน์ เขียนแทนประพจน์ " p หรือ q " ด้วย p v q

นิยาม 2    ค่าความจริงของ p v q โดยตารางค่าความจริงดังนี้

           

    ตัวอย่าง 2   จงหาค่าความจริงของ คนมี 3 ขาหรือนกเป็นสัตว์ปีก
           ให้          p แทน คนมี 3ขา               มีค่าความจริงเป็นเท็จ
                         q แทน นกเป็นสัตว์ปีก        มีค่าความจริงเป็น เท็จ
  จะได้ pvq:คนมี3ขาหรือนกเป็นสัตว์ปีก      มีค่าความจริงเป็นเท็จ

  การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม " ถ้า แล้ว " ( conditional )
  ถ้า p และ q เป็นประพจน์ เขียนแทนประพจน์ " ถ้า p แล้ว q " ด้วย " p ®q "

นิยาม 3   ค่าความจริงของ p ®q โดยตารางค่าความจริงดังนี้

การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม " ก็ต่อเมื่อ " (biconditional)
   ถ้า p และ q เป็นประพจน์ เขียนแทนประพจน์ "p ก็ต่อเมื่อ q " ด้วย "p « q "
    นิยาม 4   ค่าความจริงของ p «q โดยตารางค่าความจริงดังนี้

นิเสธของประพจน์ที่กำหนดให้ (negative)
ถ้าpเป็นประพจน์นิเสธของประพจน์pคือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกับประพจน์ p เขียนแทน นิเสธของประพจน์ p ด้วย ~p
นิยาม 5    ค่าความจริงของ ~p โดยตารางค่าความจริงดังนี้

3. การหาค่าความจริงของประพจน์ มีขั้นตอนดังนี้
   1. วิเคราะห์ตัวแปร หรือประพจน์ย่อย
   2. วิเคราะห์ว่าประพจน์ย่อยประกอบด้วยประพจน์ใดบ้าง
   3. สร้างหัวตารางของตัวแปร และประพจน์ย่อย
   4. หาความเป็นไปได้ของตัวแปร หรือประพจน์ทุกตัว
   5. หาค่าความจริงของประพจน์

4. การวิเคราะห์ตารางค่าความจริงของ  (p Ùq)®~r
1.    วิเคราะห์ตัวแปร หรือประพจน์ มี 3 ประพจน์ คือ p , q และ r
2.    วิเคราะห์ประพจน์ย่อย มี
        2.1  (p Ùq)         2.2  ~r         2.3  (p Ùq)®~ r
3.    สร้างหัวตาราง ของตัวแปร และประพจน์ย่อยรวมเป็น 6 ช่อง
4.    ความเป็นไปได้ของประพจน์ 3 ประพจน์ คือ 23 = 8 กรณี
5.    หาค่าความจริงของประพจน์