บทที่ 6.วงจรตรรกะ พีชคณิตบูลีนและการเขียนวงจรตรรกะเบื้องต้น

วงจรตรรกะ (Logic Circuit)

        ในอดีตอริสโตเติล นักปรัชญาชาวกรีกได้ใช้ตรรกะเป็นเครื่องมือแก้ปัญหาทางปรัชญา ต่อมาตรรกะได้ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์ระบบสวิตช์ชิ่งหรือระบบการสลับสาย (Switching) ของเครื่องชุมสายโทรศัพท์แบบอัตโนมัติ และในปัจจุบันวงจรตรรกะได้เข้ามามีความสำคัญกับการรับส่งสัญญาณและข้อมูลต่าง ๆ ของคอมพิวเตอร์หรืออุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ต่าง ๆ โดยวงจรตรรกะใช้ในการตัดสินใจ (Making Decision) ตามกฎของตรรกะ

        หลักการเบื้องต้นของวงจรตรรกะคือจะใช้ตัวแปรค่า 2 สภาวะดังเช่น ถูก-ผิด สูง-ต่ำ สวย-ไม่สวย เปิด-ปิด ทำงาน-ไม่ทำงาน “0”-“1” และอื่น ๆ ปัจจุบันคอมพิวเตอร์ทำงานเป็นสภาวะ “0”-“1” ดังนั้นในที่นี้เราจะใช้สัญลักษณ์ “0” และ “1”

        ในทางปฏิบัติอุปกรณ์ที่ใช้แทนตัวกระทำทางตรรกะ เราเรียกว่าเกตหรือประตูตรรกะ (Logic Gate) ซึ่งเป็นตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์ซึ่งรับข้อมูลเข้าอย่างน้อยหนึ่งตัว มาทำการประมวลผลหรือคำนวณตามวงจรตรรกะนั้น และส่งข้อมูลออก การทำงานของเกตนิยมเขียนอยู่ในรูปพีชคณิตบูลีน เมื่อนำเกตต่าง ๆ มาประกอบเป็นวงจรจะได้วงจรตรรกะ (logic circuit) ซึ่งเป็นวงจรดิจิทัลประเภทหนึ่ง ซึ่งประกอบขึ้นจากวงจรอิเล็กทรอนิกส์ โดยมีความคิดพื้นฐานมาจากวงจรสวิตชิ่ง โดยจะมีเกตพื้นฐาน 3 ชนิดได้แก่ แอนด์ (AND)  ออร์ (OR) และ นอต (NOT) โดยวงจรตรรกะส่วนใหญ่จะประกอบขึ้นด้วยเกตพื้นฐานทั้งสามตัวนี้ ส่วนเกตที่เพิ่มเติมเพื่อให้เหมาะสมกับงานมากขึ้นหรือเพื่อลดจำนวนเกตลงคือ เอ็กซ์คลูซีพออร์เกตหรือออร์เกตเฉพาะ (XOR) แนนด์เกต (NAND) และ นอร์เกต (NOR)

แอนด์เกต (AND Gate)

        แอนด์เป็นเกตที่มีอินพุตตั้งแต่สองอินพุตขึ้นไป แอนด์เกตคือเกตที่ให้สัญญาณเอาต์พุตเป็น 1 เมื่อสัญญาณอินพุตทุกตัวเป็น 1 และจะให้สัญญาณเอาต์พุตเป็น 0 เมื่อสัญญาณอินพุตตัวใดตัวหนึ่งเป็น 0 ซึ่งเปรียบเสมือนกันคูณกันของอินพุต โดยตารางค่าความจริง (Truth Table) และสัญลักษณ์ของแอนด์เกตจะเป็นดังรูป

ออร์เกต (OR Gate)

        เป็นเกตที่มีอินพุตตั้งแต่สองอินพุตขึ้นไป ออร์เกตคือเกตที่ให้สัญญาณเอาต์พุตเป็น 0 เมื่อสัญญาณอินพุตทุกตัวเป็น 0 และจะให้สัญญาณเอาต์พุตเป็น 1 เมื่อสัญญาณอินพุตตัวใดตัวหนึ่งเป็น 1 ซึ่งเปรียบเสมือนกันบวกกันของอินพุต โดยตารางค่าความจริง และสัญลักษณ์ของออร์เกตจะเป็นดังรูป

นอตเกต (NOT Gate)

        เป็นเกตที่มีอินพุตเดียว โดยเอาต์พุตของนอตเกตจะมีค่าตรงกันข้ามกับอินพุต โดยตารางค่าความจริง และสัญลักษณ์ของนอตเกตจะเป็นดังรูป

แนนด์เกต (NAND Gate)

        เป็นเกตที่มีอินพุตตั้งแต่สองอินพุตขึ้นไป เอาต์พุตของแนนด์เกต คือการคูณกันของสัญญาณอินพุต จากนั้นกลับบิตของสัญญาณเอาต์พุตเป็นตรงกันข้าม แนนด์เกตเปรียบเสมือนเอาแอนด์เกตมาต่อกับนอตเกต ซึ่งค่าเอาต์พุตที่ได้จะตรงข้ามกับแอนด์เกต โดยตารางค่าความจริง และสัญลักษณ์ของแนนด์เกตจะเป็นดังรูป

นอร์เกต (NOR Gate)

        เป็นเกตที่มีอินพุตตั้งแต่สองอินพุตขึ้นไป เอาต์พุตของนอร์เกต เอาต์พุตของนอร์เกต คือการบวกกันของสัญญาณอินพุต จากนั้นกลับบิตของสัญญาณเอาต์พุตเป็นตรงกันข้าม เปรียบเสมือนกับการเอาออร์เกตมาต่อกับน็อตเกต ซึ่งค่าเอาต์พุตที่ได้จะตรงข้ามกับออร์เกต โดยตารางค่าความจริง และสัญลักษณ์ของนอร์เกตจะเป็นดังรูป

เอ็กซ์คลูซีพออร์เกตหรือออร์เกตเฉพาะ (eXclusive-OR Gate : XOR)

        เป็นเกตที่มีอินพุตตั้งแต่สองอินพุตขึ้นไป เอาต์พุตของเอ็กซ์คลูซีพออร์เกต สังเกตจากการดูค่าอินพุต ถ้าอินพุตเหมือนกันจะเป็น 0 ถ้าอินพุตต่างกันจะเป็น 1 โดยตารางค่าความจริง และสัญลักษณ์ของเอ็กซ์คลูซีพออร์เกตจะเป็นดังรูป

พีชคณิตบูลีน (Boolean Algebra)

        พีชคณิตบูลีนเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการวิเคราะห์และออกแบบวงจรตรรกะ ที่ใช้ในการลดสมการหรือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากการออกแบบวงจรตรรกะใดๆ เราจำเป็นต้องลดรูปวงจรตรรกะนั้นให้ได้น้อยที่สุด แต่สามารถทำงานได้เช่นเดิม เพื่อให้การออกแบบวงจรตรรกะคุ้มค่าทั้งราคา ความเร็วและประสิทธิภาพ ซึ่งจะทำให้เราสามารถออกแบบวงจรตรรกะได้อย่างมีประสิทธิภาพ ความสัมพันธ์ของตัวแปรเราจะใช้เครื่องหมาย “+” แทนความหมาย OR เครื่องหมาย “.” แทนความหมาย AND และเครื่องหมาย “—” แทนความหมาย NOT หรือเรียกว่าเครื่องหมายบาร์

ทฤษฎีของพีชคณิตบูลีน

  ทฤษฎีบทที่ 1         กฎการสลับที่ (Commutative  Law)

                                (a)          A+B                        =             B+A

                                (b)          A.B                         =             B.A

  ทฤษฎีบทที่ 2         กฎการจัดหมู่ (Associative  Law)

                                (a)          A + ( B+C )           =             ( A+B ) + C

                                (b)          A . ( B.C )              =             ( A.B ).C

          

             ทฤษฎีบทที่ 3         กฎการกระจาย (Distributive  Law)

                                (a)          A + ( B.C )            =             ( A + B ) . ( A + C )

                                (b)          A . ( B+C )            =             A. B + A.C

              ทฤษฎีบทที่ 4         กฎของเอกลักษณ์ (Identity  Law)

                                (a)          A + A                     =             A

                                (b)          A . A                       =             A

   ทฤษฎีบทที่ 5        กฎการนิเสธ (Negation  Law)

                                (a)                                          =   

                                (b)                                          =     A

  ทฤษฎีบทที่ 6         กฎการลดทอน (Redundance  Law)

                                (a)          A + A.B                 =             A

                                (b)          A.( A + B )            =             A

  ทฤษฎีบทที่ 7

                                (a)          0 + A                     =             A

                                (b)          1 . A                      =             A

                                (c)           1 + A                     =             1

                                (d)          0 . A                      =             0

     ทฤษฎีบทที่ 8

                                (a)            + A                       =             1

                                (b)           . A                          =             0

  ทฤษฎีบทที่ 9

                                (a)          A +      .B               =             A + B

                                (b)          A. (      +B )           =             A.B

  ทฤษฎีบทที่ 10       ทฤษฎีของเดอร์มอร์แกน ( De Morgan “s Theorem )

                                (a)            A ̅+B ̅=((A.B) ̅ )

               

                                (b)            ((A.B) ̅ )=A ̅+B ̅                

   การพิสูจน์ทฤษฎีพีชคณิตบูลีน

        การพิสูจน์ทฤษฎีพีชคณิตบูลี มีกระบวนการหลายวิธีดังเช่นการสร้างวงจรทางตรรกะ หรือการใช้ตารางความจริงพิสูจน์ การสร้างวงจรทางตรรกะเป็นการสร้างวงจรจริงในการตรวจหาคำตอบ ซึ่งจะกล่าวถึงในเนื้อหาส่วนถัดไป การพิสูจน์โดยใช้ตารางความจริง (Truth Table) ซึ่งเป็นวิธีการที่ง่ายในการตรวจสอบ การตรวจสอบจะใช้หลักการของวงจรตรรกะแต่ละตัว

ตัวอย่างที่ 8.1 จงใช้ตารางความจริงพิสูจน์ว่า A+AB=A

วิธีทำ                                                               

การเขียนวงจรตรรกะเบื้องต้น (Basic of Logic Circuit Design)

        ในการเขียนวงจรตรรกะเบื้องต้นจะเขียนตามการกระทำของวงจรตรรกะนั้น โดยเทอมที่คูณกันจะใช้ แอนด์เกต (AND Gate) เทอมที่ทำการบวกกันจะใช้ออร์เกต (OR Gate) เทอมที่อยู่ในวงเล็บเดียวกันจะใช้เกตตามชนิดของการกระทำในเทอมนั้น ในการเขียนวงจรตรรกะให้มีประสิทธิภาพนั้นหลักการคือเราจะต้องลดรูปโดยใช้ทฤษฎีของบูลีน ทั้งนี้ก็เพื่อให้วงจรตรรกะที่เราต้องการมีจำนวนเกตน้อยที่สุดหรือมีการลงทุนในการสร้างวงจรต่ำ นอกจากนี้ยังเป็นการลดเวลาในการทำงานของวงจร (Delay time) อีกด้วย